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{{NoteTA|G1=Math|1=zh-cn:介值定理;zh-tw:中間值定理;}}
{{distinguish|介值定理}}
{{中值定理}}
{{微積分學}}

在[[數學分析]]中，'''均值定理'''（{{lang-en|mean value theorem}}）大致是講，給定平面上固定兩端點的可微曲線，則這曲線在這兩端點間至少有一點，在這點該曲線的切線的斜率等於兩端點連結起來的直線的斜率。{{notetag|這个定理有兩種翻譯：-{'''均值定理'''}-跟-{'''中值定理'''}-，與數學分析中另一重要定理：[[中間值定理]]（intermediate value theorem）容易混淆}}

更仔細點講，假設函數 <math>f</math> 在閉區間 <math>[a,b]</math> 連續且在開區間 <math>(a,b)</math> 可微，則存在一點<math>c,\, a<c<b</math>，使得

<math display="block">f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>

中值定理包括微分中值定理和积分中值定理。

== 微分中值定理 ==
微分中值定理分为[[罗尔中值定理]]、[[拉格朗日中值定理]]和[[柯西中值定理]]，内容粗略的说是指平面上一段固定端點的可微[[曲线]]，兩端點之中必然有一点，它的[[斜率]]與連接兩端點的直線斜率相同（严格的数学表达参见下文）。

當提到'''均值定理'''時在沒有特別說明下一般指拉格朗日均值定理。
=== 罗尔中值定理 ===
[[File:罗尔定理.jpg|thumb|罗尔定理的几何意义]]
{{main|罗尔定理}}
如果[[函数]]<math>f(x)</math>满足
# 在闭[[区间]]<math>[a,b]</math>上[[连续]]；
# 在开区间<math>(a,b)</math>内可导；
# 在区间端点处的函数值相等，即<math>f(a)=f(b)</math>，

那么在<math>(a,b)</math>内至少有一点<math>\xi (a<\xi<b)</math>，使得<math display="block">f^\prime(\xi)=0</math>

这个定理称为'''罗尔定理'''。

=== 拉格朗日中值定理（均值定理） ===
[[File:Mittelwertsatz6.svg|300px|thumb|拉格朗日中值定理的几何意义]]
{{main|拉格朗日中值定理}}
令<math>f:[a,b]\rightarrow \mathbf R</math>为闭[[区间]]<math>[a,b]</math>上的一个[[连续函数]]，且在开区间<math>(a,b)</math>内[[可导]]，其中<math>a<b</math>。那么在<math>(a,b)</math>上存在某个<math>c</math>使得

<math display="block">f ' (c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}</math>

此定理称为'''拉格朗日中值定理'''，也簡稱'''均值定理'''，是[[罗尔中值定理]]的更一般的形式，同时也是[[柯西中值定理]]的特殊情形。

这个定理在可以稍微推廣一點。只需假设 <math>f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}</math> 在 <math>[a,b]</math> [[连续函数|连续]]，且在開區間 <math>(a,b)</math> 内对任意一點 <math>x</math>，[[极限 (数学)|极限]]

<math display="block">\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math>

存在，为一个有限数字或者等于+∞或−∞.如果有限，则极限等于<math>f'(x)</math>。這版本定理应用的一个例子是函數 <math>x \to x^{1/3}</math>，实值三次方根函数，其[[导数]]在原点趋于无穷。

注意若一个可微函数的值域是複數而不是實數，則上面这定理就未必正确。例如，对實數 <math>x</math> 定义<math>f(x)=e^{ix}</math>。那么

<math diisplay-"block">f(2\pi)-f(0)=0\neq f'(c)(2\pi - 0)</math>

因<math>|f'(x)| = 1\neq 0</math> 时，<math>c</math> 為開區間 <math>(0, 2\pi)</math> 中任意一點。

=== 柯西中值定理 ===
{{main|柯西中值定理}}
'''柯西中值定理'''，也叫'''拓展中值定理'''，是中值定理的一般形式，其叙述为：如果函数 <math>f</math> 和 <math>g</math> 都在闭区间<math>[a, b]</math> 上连续，且在开区间 <math>(a, b)</math> 上可导，那么存在某个<math>c \in (a, b)</math>，使得
[[File:Cauchy.svg|thumb|306px|柯西定理的几何意义]]

<math display="block">(f(b)-f(a))g\,'(c)=(g(b)-g(a))f\,'(c)\,</math>

当然，如果<math>g(a) \ne g(b)</math> 且 <math>g'(c) \ne 0</math>，則可表示成：

<math display="block">\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}</math>

在几何上，这表示[[曲线]]
<math display="block">\begin{cases}[a,b] \to \mathbb{R}^2\\t\mapsto (f(t),g(t))\end{cases}</math>
上存在一點其切線平行于由兩點（<math>f(a), g(a)</math>）和（<math>f(b), g(b)</math>）所連接的直线。但柯西定理不能表明在任何情况下這種切線都存在，因为可能存在一些<math>c</math>值使<math>f(c) = g(c) = 0</math>，所以在这些点曲线根本没有切线。下面是这种情形的一个例子

<math display="block">t\mapsto (t^3,1-t^2)</math>

在区间<math>[-1,1]</math>上，曲线由<math>(-1,0)</math>到<math>\left(1,0\right)</math>，却并无一个水平切线，但在<math>t=0</math>处有一个驻点（实际上是一个[[尖点]]）。

柯西中值定理可以用来证明[[洛必达法则]]。拉格朗日中值定理是柯西中值定理当<math>g(t) = t</math>时的特殊情况。

== 积分中值定理 ==
积分中值定理分为[[积分第一中值定理]]和[[积分第二中值定理]]，它们各包含两个公式。其退化状态均指在ξ的变化过程中存在一个时刻使两个图形的面积相等（严格表述在下面）。
=== 积分第一中值定理 ===

设<math>f:[a,b]\rightarrow \mathbb R</math>为一连续函数，<math>g:[a,b]\rightarrow \mathbb R</math>要求<math>g(x)</math>是可积函数且在积分区间不变号，那么存在一点<math>\xi\in (a,b)</math>使得

<math display-"block">\int_a^b f(x)g(x)\,dx= f(\xi)\int_a^b g(x)\,dx</math>。

==== 证明 ====
在不失去一般性的条件下，设对所有<math>x</math>，有<math>g(x) \geq 0</math>；
因为<math>f</math>是闭区间上的连续函数，<math>f</math>取得最大值<math>M</math>和最小值<math>m</math>。于是
<math display-"block">mg(x)\leq f(x)g(x)\leq Mg(x)</math>

对不等式求积分，我们有
<math display-"block">m\int_a^b g(x)\,dx\leq \int_a^b f(x)g(x)\,dx \leq M\int_a^b g(x)\,dx</math>。
若<math>\int_a^b g(x)\,dx=0</math>，则<math>\int_a^b f(x)g(x)\,dx=0</math>。<math>\xi</math>可取<math>[a,b]</math>上任一点。

若不等于零那么<math>\int_a^b g(x)\,dx>0</math>，
<math display="block">m\leq \frac{\int_a^b f(x)g(x)\,dx}{\int_a^b g(x)\,dx}\leq M </math>
因为<math>m\leq f(x)\leq M</math>是连续函数，根據介值定理，则必存在一点<math>\xi\in [a,b]</math>，使得
<math display-"block">f(\xi)= \frac{\int_a^b f(x)g(x)\,dx}{\int_a^b g(x)\,dx}</math>

<math>g(x)<0</math>的情况按同样方法证明。

[[File:积分中值定理.jpg|300px|thumb|积分第一中值定理推论的几何意义]]

==== 推论（拉格朗日中值定理的积分形式） ====
在上式中令<math>g(x)=1</math>，则可得出：

设<math>f:[a,b]\rightarrow \mathbf R</math>为一连续函数，则∃<math>\xi \in [a,b]</math>，使

<math display="block">f(\xi)= \frac{\int_a^b f(x)\,dx}{b-a}</math>

它也可以由拉格朗日中值定理推出：

设<math>F(x)</math>在<math>[a,b]</math>上可导，<math>f(x)=F^\prime(x)</math>，则∃<math>\xi \in [a,b]</math>，使

<math display="block">f(\xi) = F^\prime(\xi)= \frac{F(b)-F(a)}{b-a} = \frac{\int_a^b f(x)\,dx}{b-a}</math>

=== 积分第二中值定理 ===
[[积分第二中值定理]]与积分第一中值定理相互独立，却又是更精细的'''积分中值定理'''。它可以用来证明[[Dirichlet-Abel反常Riemann积分判别法]]。
==== 内容 ====
若<math>f,g</math>在<math>[a,b]</math>上[[黎曼可积]]且<math>f(x)</math>在<math>[a,b]</math>上单调，则存在<math>[a,b]</math>上的点ξ使
<math display="block">\int_a^b {f(x)g(x)\mathrm{d}x = } f(a)\int_a^\xi  {g(x)\mathrm{d}x+ } f(b)\int_\xi ^b {g(x)\mathrm{d}x}</math>

==== 退化态的几何意义 ====
[[File:Geometric explanation of the second mean value theorem for integration.jpg|thumb|400px|第二积分中值定理退化形式的几何意义]]
令<math>g(x)=1</math>，则原公式可化为：
<math display-"block">\int_a^b {f(x)dx}=f(a)(\xi-a)+f(b)(b-\xi)</math>
进而导出：
<math display="block">\int_a^\xi {f(x)dx}-f(a)(\xi-a)=f(b)(b-\xi)-\int_\xi^b {f(x)dx}</math>

此时易得其几何意义为：
能找到ξ∈[a,b]，使得S[红]+S[蓝]=S[阴影]，即S[I]=S[II]

=== 应用 ===
关于积分中值定理的一个重要应用是可以去除掉积分号，或者使复杂的被积函数化为相对简单的被积函数，从而使问题简化。

== 注释 ==
{{notefoot}}

== 参见 ==
* [[罗尔定理]]
* [[柯西中值定理]]
* [[介值定理]]
* [[极值定理]]

[[Category:奥古斯丁-路易·柯西]]
[[Category:包含证明的条目]]
[[Category:微積分定理]]
[[Category:实分析定理]]