查看“︁中一新生之夢”︁的源代码

-{T|zh:中一新生之夢; zh-cn:初一新生之梦;}-
[[File:Freshman's_Dream.svg|thumb|形象化表達「Freshman's dream」的錯誤之處：上圖的正方形邊長為X+Y，正方形總面積為黃色正方形（=X<sup>2</sup>）、綠色正方形（=Y<sup>2</sup>)，以及兩個常被忽略的白色長方形（=2×X×Y）。]]

'''{{Lang|en|Freshman's dream}}'''（中文可譯「'''新手之夢'''」）指的是錯誤方程式「<math>(x+y)^n</math> = <math>x^n+y^n</math>」，當中 <math>n</math> 是一個[[实数|實數]]（通常是大於1的[[自然数|正整數]]）。初階學生經常誤以為括號外的[[冪|次方]]可以直接[[分配律|分配]]給括號內的項<ref>Julio R. Bastida, ''Field Extensions and Galois Theory'', Addison-Wesley Publishing Company, 1984, p.8.</ref><ref>Fraleigh, John B., ''A First Course in Abstract Algebra'', Addison-Wesley Publishing Company, 1993, p.453, {{ISBN|0-201-53467-3}}.</ref>。其實只要假設 <math>n=2</math> 就可以簡單發現方程式並不成立：透過[[乘法分配律]]，<math>(x+y)^2=x^2+2xy+y^2</math>。至於 <math>n</math> 值更大的方程式，則可以使用[[二项式定理]]計算正確答案。

在[[熱帶幾何]]的世界，加法取代了乘法，而[[极值]]取代了加法。在此情況下，「Freshman's dream」便是正確<ref>{{Citation|last=Difusión DM|title=Introduction to Tropical Algebraic Geometry (1 of 5)|date=2018-02-23|url=https://www.youtube.com/watch?v=unjVp6HQVmc|access-date=2019-06-11|archive-date=2020-06-17|archive-url=https://web.archive.org/web/20200617095311/https://www.youtube.com/watch?v=unjVp6HQVmc&gl=US&hl=en|dead-url=no}}</ref>。

「Freshman's dream」也可代指另一項定理，<math>(x+y)^p = x^p + y^p</math>，當中 <math>p</math> 是[[素数|質數]]，而 <math>x</math> 和 <math>y</math> 是在具有 <math>p</math> [[特征 (代数)|特徵]]的[[交换环|交換環上的代數]]。由於 <math>p</math> 能夠整除首項和末項以外的[[二項式係數]]，使中間的所有項都等於零，所以這個「錯誤」實際上可以做到正確答案<ref>{{Cite web|title=How is (x+y)p≡xp+yp mod p for any prime number p|url=https://math.stackexchange.com/questions/2932541/how-is-xyp-equiv-xp-yp-mod-p-for-any-prime-number-p|accessdate=2020-08-12|author=|date=|format=|work=Mathematics Stack Exchange|publisher=|language=|archive-date=2022-03-25|archive-url=https://web.archive.org/web/20220325061225/https://math.stackexchange.com/questions/2932541/how-is-xyp-equiv-xp-yp-mod-p-for-any-prime-number-p|dead-url=no}}</ref>。

-{H|zh:中一;zh-cn:初一;}-
== 歷史與別名 ==
1940年一篇有關[[模曲線]]的文章中，[[桑德斯·麥克蘭恩]]引用[[斯蒂芬·科尔·克莱尼]]指出，[[特徵 (代數)|特徵]]為2的[[域 (數學)|體]]中的公式「<math>(a+b)^2 = a^2 + b^2</math>」，有可能破壞中一新生的[[抽象代数|代數]]觀念。此為可追溯的最早將「中一新生之夢」與正特徵體的二項式展開公式連繫起來的言論<ref>Colin R. Fletcher, Review of ''Selected papers on algebra, edited by {{tsl|en|Susan Montgomery||Susan Montgomery}}, Elizabeth W. Ralston and others. Pp xv, 537. 1977. {{ISBN|0-88385-203-9}} (Mathematical Association of America)'', ''The Mathematical Gazette'', Vol. 62, No. 421 (Oct., 1978), The Mathematical Association. p. 221.</ref>，自此大部分代數課本都提及這個慣常誤解，其中1974年{{tsl|en|Thomas W. Hungerford|湯馬士·亨嘉福}}的代數課本似乎是首次使用「Freshman's dream」一詞<ref>Thomas W. Hungerford, ''Algebra,'' Springer, 1974, p. 121; also in ''Abstract Algebra: An Introduction'', 2nd edition. Brooks Cole, July 12, 1996, p. 366.</ref>。別名包括1998年莊·法黎課本中的「'''{{Lang|en|Freshman exponentiation}}'''」（中文可譯「'''中一新生之冪'''」）<ref>John B. Fraleigh, ''A First Course In Abstract Algebra'', 6th edition, Addison-Wesley, 1998. pp. 262 and 438.</ref>；又鑑於<math>(x+y)^n</math>可透過二项式定理計算，因而又被稱爲「'''小孩的二項式定理'''」（{{Lang|en|Child's binomial theorem}}）<ref name="Granville" />或「'''中學生的二項式定理'''」（{{Lang|en|Schoolboy binomial theorem}}）<ref>{{Cite web|title=EGMO Training 2017 - Exponents (mod p)|url=https://euclid.ucc.ie/MATHENR/Exercises/Returning%20Group/ExponentsModPAnca2015.pdf|accessdate=|author=|date=|format=|publisher=|language=|archive-date=2017-11-19|archive-url=https://web.archive.org/web/20171119093326/http://euclid.ucc.ie/MATHENR/Exercises/Returning%20Group/ExponentsModPAnca2015.pdf|dead-url=no}}</ref>。

至於「Freshman's dream」一詞則自19世紀起已在非數學範疇使用<ref>{{cite web|url=http://www.google.com/search?tbo=p&tbm=bks&q=%22freshman%27s+dream%22&tbs=,cdr:1,cd_min:Jan%201_2%201800,cd_max:Dec%2031_2%201900&num=10|publisher=Google books|title=1800–1900 Search for "freshman's dream"|access-date=2020-08-12|archive-date=2022-02-08|archive-url=https://web.archive.org/web/20220208110910/http://www.google.com/search?tbo=p&tbm=bks&q=%22freshman%27s+dream%22&tbs=%2Ccdr%3A1%2Ccd_min%3AJan%201_2%201800%2Ccd_max%3ADec%2031_2%201900&num=10|dead-url=no}}</ref><ref>{{cite book|url=https://books.google.com/books?id=3XNHAAAAYAAJ&pg=PA176&dq=%22freshman%27s+dream%22|title=Bentley's miscellany|volume=26|page=176|year=1849}}</ref>。

== 例子 ==
* <math>(1+4)^2 = 5^2 = 25</math>，但<math>1^2+4^2 = 17</math>.
*<math>(x^2+y^2)^\frac{1}{2}</math>（即 <math>\sqrt{x^2+y^2}</math> ）在大多數情況下都不等於<math>\sqrt{x^2}+\sqrt{y^2}=|x|+|y|</math>。例如：<math>\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5</math>，而<math>3+4=7</math>。

== 質數定理 ==
當 <math>p</math> 是[[素数|質數]]，而 <math>x</math> 和 <math>y</math> 是在具有 <math>p</math> [[特征 (代数)|特徵]]的[[交换环|交換環上的代數]]，那麼 <math>(x+y)^p = x^p + y^p</math>。此理論可透過研究二項式係數的質數因數而論證：

第 ''n'' 個二項式係數為 <math>\binom{p}{n} = \frac{p!}{n!(p-n)!}</math>。

由於[[分數|分子]]是 <math>p</math> 的[[階乘]]，所以可以被 <math>p</math> 整除。不過當 <math>0 < n < p</math> 之時，<math>n!</math> 和 <math>(p-n)!</math> 都少於 <math>p</math>，因而兩者都不能被整除。但二項式係數必然是整數，因此第 ''n'' 個二項式係數可被 <math>p</math> 整除，交換環繼而等於零。自此整條方程式只剩下第0個和第 ''p'' 個二項式係數，因此可證 <math>(x+y)^p = x^p + y^p</math>。結果也證明 ''p'' 次方製造了[[自同态]]，又稱交換環的[[弗罗贝尼乌斯自同态]]<ref name="Granville" />。

在此方程中，<math>p</math> 必須是質數才可成立。有一相類近的定理指出，當 <math>p</math> 是質數的話，在<math>\mathbb{Z}_p[x]</math>[[多项式环]]中，<math>(x+1)^p\equiv x^p+1 </math>。此定理成為現代質數測試中的關鍵<ref name="Granville">{{cite web|last=Granville|first=Andrew|url=http://www.ams.org/bull/2005-42-01/S0273-0979-04-01037-7/S0273-0979-04-01037-7.pdf|title=It Is Easy To Determine Whether A Given Integer Is Prime|publisher=BULLETIN (New Series) OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY|volume=42|publication-date=2004-09-30|pages=3–38|accessdate=2020-08-12|archive-date=2008-05-14|archive-url=https://web.archive.org/web/20080514222347/http://www.ams.org/bull/2005-42-01/S0273-0979-04-01037-7/S0273-0979-04-01037-7.pdf|dead-url=no}}</ref>。

== 參見 ==
* [[一年級生]]
* [[素性测试]]
* [[弗罗贝尼乌斯自同态]]
* [[二年級之夢]]

== 參考文獻 ==
{{reflist}}

[[Category:代数]]
[[Category:数学教育]]