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{{about|实变函数的不连续点的分类|复变函数的奇点的分类|奇点_(数学)}}
{{微积分学}}
'''不连续点'''，又称'''间断点'''，'''分段点'''（{{lang-en|Discontinuities}}），通常是在單變數[[實变函數]]的環境下討論。令<math>E\subseteq \mathbb{R},~f:E\to\mathbb{R}</math>，且若<math>c\in\mathbb{R}</math>(不一定要在<math>E</math>中)，若<math>f</math>在<math>c</math>不連續，則稱<math>f</math>在那裡有個不連續點、<math>c</math>為一個<math>f</math>的不連續點。

== 分类 ==
根据不同不连续点的性质，通常把不连续点分为两类：
#第一类不连续点： 
##可去不连续点：不连续点两侧函数的极限存在且相等 。
##跳跃不连续点：不连续点两侧函数的[[函數極限|极限]]存在，但不[[相等]]； 
#第二类不连续点：
:不属于第一类不连续点的任何一种不连续点都属于第二类不连续点。第二类不连续点可以进一步分为无穷不连续点和震荡不连续点。

== 例子 ==
[[File:Discontinuity_removable.eps.png|thumb|right|可去不连续点]]
1. 考虑以下函数：
:<math>f(x)=\begin{cases}x^2 & \mbox{ for } x< 1 \\ 0 & \mbox { for } x=1 \\ 2-x&  \mbox{ for }  x>1\end{cases}</math> 
点<math>x_0=1</math>是可去不连续点。

[[File:Discontinuity_jump.eps.png|thumb|right|跳跃不连续点]]
2. 考虑以下函数：
:<math>f(x)=\begin{cases}x^2 & \mbox{ for } x< 1 \\ 0 & \mbox { for } x=1 \\ 2-(x-1)^2& \mbox{ for } x>1\end{cases}</math> 
点<math>x_0=1</math>是跳跃不连续点。

[[File:Discontinuity essential.svg|thumb|right|第二类不连续点]]
3. 考虑以下函数：
:<math>f(x)=\begin{cases}\sin\frac{5}{x-1} & \mbox{ for } x< 1 \\ 0 & \mbox { for } x=1 \\ \frac{0.1}{x-1}& \mbox{ for } x>1\end{cases}</math> 
点<math>x_0=1</math>是第二类不连续点，又称本性不连续点。

== 外部链接 ==
* {{Planetmath reference|title=Discontinuous|id=4447|urlname=discontinuous}}
* [http://demonstrations.wolfram.com/Discontinuity/ "Discontinuity"] {{Wayback|url=http://demonstrations.wolfram.com/Discontinuity/ |date=20220108040132 }} by Ed Pegg, Jr., The Wolfram Demonstrations Project, 2007.
* {{MathWorld | urlname=Discontinuity | title=Discontinuity}}

[[Category:连续映射]]
[[Category:数学分析]]