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{{量子力学}}
'''不可克隆原理'''（No-cloning theorem）是[[量子力学|量子物理]]的一个重要结论，即不可能构造一个能够完全复制任意[[量子位元|量子比特]]，而不对原始量子位元产生干扰的系统。量子力学的线性特征是这个原理的根本原因。

不可克隆原理是[[量子信息|量子信息学]]的基础。量子信息在信道中传输，不可能被第三方复制而窃取信息而不对量子信息产生干扰。因此这个原理也是[[量子密码学]]的基石。

== 证明 ==

为了证明不可克隆原理，我们首先假定，存在一个系统能够完全拷贝任意的量子比特。

<math>|\phi \rangle</math> 和 <math>|\psi \rangle</math> 是两个任意的量子状态，我们要把这两个状态拷贝到另一个与他们完全无关的状态<math>|k \rangle</math>上。我们用一个[[幺正算符]]<math>U</math>来描述这个过程。则这个拷贝算符必须具备以下性质：

:<math>U(|\phi \rangle \otimes |k \rangle) = |\phi \rangle \otimes |\phi \rangle</math>
:<math>U(|\psi \rangle \otimes |k \rangle) = |\psi \rangle \otimes |\psi \rangle</math>

[[数量积|内积]]<math>\langle U(\phi \otimes k) | U(\psi \otimes k) \rangle</math>可得出以下两个等式：

:<math>\langle U(\phi \otimes k) | U(\psi \otimes k) \rangle = \langle \phi \otimes \phi | \psi \otimes \psi \rangle</math>
:<math>\langle U(\phi \otimes k) | U(\psi \otimes k) \rangle = \langle \phi \otimes k | \psi \otimes k \rangle</math>

这样便得到了：

:<math>\langle \phi \otimes \phi | \psi \otimes \psi \rangle = \langle \phi \otimes k | \psi \otimes k \rangle,</math>
:<math>{ \to}</math>
:<math>\langle \phi | \psi \rangle \langle \phi | \psi \rangle = \langle \phi | \psi \rangle \langle k | k \rangle\,.</math>

因为<math>\langle k | k \rangle = 1 </math>，所以得出
:<math>\langle \phi | \psi \rangle^2 = \langle \phi | \psi \rangle.</math>

这个等式仅有的两个解是<math>\langle \phi | \psi \rangle = 0</math> 和 <math>\langle \phi | \psi \rangle = 1</math>。这意味着，要么 <math>\phi = \psi</math> （当 <math>\langle \phi | \psi \rangle = 1</math>），要么 <math>\phi</math> 与 <math>\psi</math> [[正交]]（当 <math>\langle \phi | \psi \rangle = 0</math>)。只能够克隆相同或正交的状态，这并不是我们最初假设的任意状态的完全克隆，不可克隆原理证明完毕。

== 举例 ==
无法从<math>| \psi \rangle</math>造出<math>| \psi \rangle | \psi \rangle</math>。

设状态<math>| \psi \rangle = a|0\rangle + b|1\rangle </math>。
则<math>| \psi \rangle | \psi \rangle = a^2|00\rangle + ab|01 \rangle + ab|10 \rangle + b^2|11 \rangle</math>

把<math>| \psi \rangle </math>与<math> |0 \rangle </math> 作为输入：
:<math>| \psi \rangle |0 \rangle = \bigg( a|0\rangle + b|1\rangle \bigg)|0 \rangle = a|00\rangle + b|10 \rangle </math>

经过[[受控反閘]]，输出:
:<math>a|00\rangle + b|11\rangle </math>

这与<math>| \psi \rangle | \psi \rangle</math> 并不相等，状态没有被复制。

== 参考文献 ==
* W.K. Wootters and W.H. Zurek, ''[http://www.nature.com/nature/journal/v299/n5886/abs/299802a0.html A Single Quantum Cannot be Cloned] {{Wayback|url=http://www.nature.com/nature/journal/v299/n5886/abs/299802a0.html |date=20170717183632 }},'' Nature 299 (1982), pp.&nbsp;802–803.
* D. Dieks, ''Communication by EPR devices,'' Physics Letters A, vol. 92(6) (1982), pp.&nbsp;271–272.
* V. Buzek and M. Hillery, ''Quantum cloning,'' Physics World 14 (11) (2001), pp.&nbsp;25–29.

[[Category:量子信息科学]]