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[[數學]]上，'''下限拓撲'''是定義在[[實數]]集 <math>\mathbb{R}</math> 上的[[拓扑空间|拓撲]]。其不同於 <math>\mathbb{R}</math> 上的標準拓撲（由[[開區間]]生成），且具有若干有趣的性質。其為全體半開區間 <nowiki>[</nowiki>''a'',''b''<nowiki>)</nowiki> 組成的[[基 (拓撲學)|基]]生成的拓撲，其中 ''a'' 和 ''b'' 取遍任意實數。

這樣得到的[[拓撲空間]]稱為'''Sorgenfrey直線'''（得名自 {{link-en|Robert Sorgenfrey}}）或'''箭頭'''，有時記為 <math>\mathbb{R}_l</math>. 與[[康托集]]和[[長直線]]類似，Sorgenfrey 直線也經常作為[[點集拓撲學]]中不少似是而非的命題的反例。

<math>\mathbb{R}_l</math> 與自身的[[积空间|積]]也是有用的反例，稱為[[Sorgenfrey平面]]。

類似地，可以定義 <math>\mathbb{R}</math> 上的'''上限拓撲'''，其性質與下限拓撲完全相同。

== 性質 ==
* 下限拓撲比實數集的標準拓撲更[[拓撲比較|精細]]（具有更多開集）。原因是每個開區間都可寫成半開區間的可數並，故在下限拓撲中也是開集。
* 對任意實數 <math>a</math> 和 <math>b</math>, 區間 <math>[a,b)</math> 都是 <math>\mathbb{R}_l</math> 的[[闭开集]]（既是[[开集]]，也是[[闭集]]）。而且，對任意實數 <math>a</math>, 集合 <math>\{x\in\mathbb{R} : x < a\}</math> 和 <math>\{x \in\mathbb{R} : x \geq a\}</math> 皆為閉開集。故 <math>\mathbb{R}_l</math> 為[[完全不连通空间]]。
* <math>\mathbb{R}_l</math> 的[[紧空间|緊子集]]只能是[[可數集]]（允許是有限集）。要證明此結論，考慮非空緊集 <math>C\subseteq\mathbb{R}_l</math>.  取定 <math>x \in C</math>, 考慮 <math>C</math> 的[[覆盖 (拓扑学)|開覆蓋]]：
::<math> \bigl\{ [x, +\infty) \bigr\} \cup \Bigl\{ \bigl(-\infty, x - \tfrac{1}{n} \bigr) \,\Big|\, n \in \mathbb{N} \Bigr\}.</math>
:由於 <math>C</math> 為緊，此開覆蓋具有有限子覆蓋，故存在實數 <math>a(x)</math> 使得區間 <math>(a(x), x]</math> 不含 <math>C</math> 除 <math>x</math> 以外的點。這對任意 <math>x\in C</math> 為真。現選取有理數 <math>q(x) \in (a(x), x]\cap\mathbb{Q}</math>. 對不同的 <math>x\in C</math>, 區間 <math>(a(x), x]</math> 兩兩不交，故函數 <math>q: C \to \mathbb{Q}</math> 為單射，故 <math>C</math> 至多可數。
* 「下限拓撲」得名自以下性質：<math>\mathbb{R}_l</math> 中的序列（或[[網 (數學)|網]]）<math>(x_\alpha)</math> 收斂到 <math>L</math> [[当且仅当]]其「從右接近 <math>L</math>」，即對任意的 <math>\epsilon>0</math> ，均存在下標 <math>\alpha_0</math> 使得 <math>\forall\alpha \geq \alpha_0 : L \leq x_\alpha < L+\epsilon</math>. <math>\mathbb{R}_l</math> 因此可用於研究單側極限：對[[函數]] <math>f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, <math>f</math> 於 <math>x</math> 之右極限（假定陪域具有標準拓撲），等於定義域在下限拓撲下 <math>f</math> 於 <math>x</math> 之一般極限。
* 就[[分离公理]]而言， <math>\mathbb{R}_l</math> 是[[正规空间|完美正规豪斯多夫空間]]（T<sub>6</sub> 空間）。
* 就[[可數性公理]]而言， <math>\mathbb{R}_l</math> 是[[第一可數空間]]和[[可分空间]]，但並非[[第二可數空間]]。
* 就緊緻性而言，<math>\mathbb{R}_l</math> 是[[林德勒夫空間]]和[[仿紧空间]]，但並非{{link-en|σ-緊空間|σ-compact space}}，也不是[[局部紧]]空間。
* <math>\mathbb{R}_l</math> 不[[可度量化]]，因為可分的度量空間必為第二可數。然而，<math>\mathbb{R}_l</math> 的拓撲是由一個[[距离函数#預度量|預度量]]給出。
* <math>\mathbb{R}_l</math> 是一個[[贝尔空间]] <ref>{{cite web |title=Re: Baireness of Sorgenfrey line, more details (and more accurate) |url=http://at.yorku.ca/cgi-bin/bbqa?forum=homework_help_2003&task=show_msg&msg=0878.0001.0001 |website=at.yorku.ca |access-date=2018-07-05 |archive-url=https://web.archive.org/web/20110604230115/http://at.yorku.ca/cgi-bin/bbqa?forum=homework_help_2003&task=show_msg&msg=0878.0001.0001 |archive-date=2011-06-04 |dead-url=yes }}</ref>。

==參考資料==
{{reflist}}
*{{Citation | last1=Steen | first1=Lynn Arthur | author1-link=Lynn Arthur Steen | last2=Seebach | first2=J. Arthur Jr. | author2-link=J. Arthur Seebach, Jr. | title=[[Counterexamples in Topology]] | origyear=1978 | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=[[Dover Publications|Dover]] reprint of 1978 | isbn=978-0-486-68735-3 |mr=507446 | year=1995}}
{{点集拓扑}}
[[Category:点集拓扑学|X]]
[[Category:拓扑空间|X]]