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在電子學中，若要描述一電路在[[電壓]]（或[[电流]]）[[阶跃函数]]下的反應，可用'''上昇時間'''（rise time）表示。上昇時間是[[信號]]從特定低準位上昇到特定高準位需要的時間<ref name="Std1037C">{{citation |url=https://www.its.bldrdoc.gov/fs-1037/dir-031/_4625.htm |title=rise time |work=Federal Standard 1037C |date=August 7, 1996 |accessdate=2019-12-31 |archive-date=2016-06-24 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160624231319/http://www.its.bldrdoc.gov/fs-1037/dir-031/_4625.htm }}</ref>，值可以用相對參考輸入的[[比率]]<ref name="10-90">例如{{harv|Cherry|Hooper|1968|loc=p.6 and p.306}}, {{harv|Millman|Taub|1965|p=44}} and {{harv|Nise|2011|p=167}}.</ref>或是[[百分比]]<ref>例如{{harvtxt|Levine|1996|p=158}}, {{harv|Ogata|2010|p=170}} and {{harv|Valley|Wallman|1948|p=72}}.</ref>來表示。在[[模拟电路]]中，其較低百分比及較高百分比多半會是輸出阶跃高度的10%及90%（或{{math|0.1}}及{{math|0.9}}）<ref>例如{{harv|Cherry|Hooper|1968|loc=p. 6 and p. 306}}, {{harv|Millman|Taub|1965|p=44}} and {{harv|Valley|Wallman|1948|p=72}}.</ref>。不過，也常會使用其他的值<ref>例如 {{harvtxt|Valley|Wallman|1948|loc=p. 72, footnote 1}}有提到：「有些應用會量測5%到95%的上昇時間，或是1%到99%的上昇時間。」</ref>若是在控制理論中，依照{{harvtxt|Levine|1996|p=158}}，上昇時間定義為「響應從終值的{{math|x%}}上昇到{{math|y%}}所需要的時間」，若是欠阻尼的二階系統，常會以0%至100%的上昇時間為準，若是臨界阻尼系統，則會是5%至95%的，過阻尼系統會是10%到90%的上昇時間<ref name="risedef">精確來說，{{harvtxt|Levine|1996|p=158}}有提到：「上昇時間是從終值的x%上昇到y%需要的時間。若是過阻尼[[控制系統]]，多半會使用0%至100%的上昇時間，若是欠阻尼系統 (...) 多半會使用10%至90%的上昇時間。」。不過過阻尼二階控制系統使用0%至100%的上昇時間是不正確的，因為此定義下的上昇時間會是無限大。類似RC電路上昇時間的例子。在{{harv|Levine|2011|p=9-3 (313)}}的第二版也有類似的文字。</ref>。依照{{harvtxt|Orwiler|1969|p=22}}，上昇時間可以用在階躍上昇或是階躍下降的[[階躍響應]]，不過階躍下降的場合，有時也會稱是[[下降時間]]。<ref>仍是依照{{harvtxt|Orwiler|1969|p=22}}的定義</ref>，
==簡介==
上昇時間是高速電子電路中重要的類比參數，可以量測在高速輸入信號時，系統響應的能力<ref>依照{{harvtxt|Valley|Wallman|1948|p=72}}「若要複製階躍函數或是方波的上昇緣，最重要的參數就是上昇時間，一般是量測10%至90%之間的時間，另一個則是[[过冲]]。」，依照{{harvtxt|Cherry|Hooper|1969|p=306}}「放大器在方波響應下，最重要的二個參數是上昇時間以及倾斜百分比。」</ref>。針對電路、產生器、資料量測及傳輸設備的上昇時間，已有許多的方法可以進行縮減。這些縮減也開始了更高速電子元件或電路的研究，以及研究如何減少電路中的雜散元件（多半是電感及電容）。不過在高速電子學的領域之外，有些應用會希望有較長的上昇時間，例如燈光的{{link-en|調光器|dimming}}，其上昇時間較長會延長燈泡的壽命，或是用數位信號控制{{link-en|類比開關|analog switch}}，較長的上昇時間表示流經雜散電容的量會比較少，因此耦合產生的[[噪音]]也會比較少。。

===影響上昇時間的因素===
針對給定系統的輸出，其上昇時間和輸入信號的上昇時間有關，也和系統特特性有關<ref>參考{{harv|Orwiler|1969|pp=27–29}}及[[#級聯模組的上昇時間|級聯模組的上昇時間]]章節</ref>。

例如，電阻性電路的上昇時間主要會和[[雜散電容]]及雜散電感有關。因為所有電路都不只有[[电路]]性的元件，也會有電容性或電感性的元件，在負載到達[[穩態理論|穩態]]之前，會有電壓及（或）電流的延遲。若是純[[RC電路]]，輸出的上昇時間（10%至90%）約是電阻值（單位為歐姆）和電容值（單位為法拉）乘積的2.2倍，{{math|2.2 ''RC''}}<ref>參考{{harv|Valley|Wallman|1948|p=73}}、{{harv|Orwiler|1969|loc=p. 22 and p. 30}}中的範例，或是[[#一階低通RC電路|一階低通RC電路]]章節</ref>。

===其他定義===
有關上昇時間，也有其他和{{harvtxt|Levine|1996|p=158}}不同的定義，偶爾會出現：<ref>可參考 {{harv|Valley|Wallman|1948|loc=p. 72, footnote 1}}及{{Harv|Elmore|1948|p=56}}。</ref>。這些定義的差異不只是參考準位的不同，也有些有不同的算法。例如有一種上昇時間的定義是考慮階躍函數響應50%時的切線，再繪圖計算和X軸的截距得到上昇時間，偶爾會用到這種定義<ref>參考{{harv|Valley|Wallman|1948|loc=p. 72, footnote 1}}及{{Harv|Elmore|1948|loc=p. 56 and p. 57, fig. 2a}}.</ref>。另一種定義是由{{Harvtxt|Elmore|1948|p=57}}引入<ref>參考{{harv|Petitt|McWhorter|1961|pp=109–111}}</ref>，用到[[概率论]]及[[统计学]]的概念。考慮[[階躍響應]] {{math|''V''(''t'')}}，重新定義[[傳播延遲]] {{math|''t<sub>D</sub>''}}為一次[[导数]]{{math|''V′''(''t'')}}的[[矩 (數學)|矩]]，也就是

:<math>t_D = \frac{\int_0^{+\infty}t V^\prime(t)\mathrm{d}t}{\int_0^{+\infty} V^\prime(t)\mathrm{d}t}.</math>

最後，用以下的二次矩來定義上昇時間{{math|''t<sub>r</sub>''}}

:<math>t_r^2 = \frac{\int_0^{+\infty}(t -t_D)^2 V^\prime(t)\mathrm{d}t}{\int_0^{+\infty} V^\prime(t)\mathrm{d}t} \quad 
\Longleftrightarrow \quad t_r =\sqrt{\frac{\int_0^{+\infty}(t -t_D)^2 V^\prime(t)\mathrm{d}t}{\int_0^{+\infty} V^\prime(t)\mathrm{d}t}}</math>

== 典型系統的上昇時間 ==

===符號及標示===
所有分析用到的符號及假設條列如下：

*根據{{harvs|txt|last=Levine | year1=1996 | year2=2011 |loc1=p. 158| loc2= 9-3 (313)}}，定義{{math|''x%''}}為低準位的百分比，{{math|''y%''}}為高準位的百分比，參考基準都以要量測上昇時間信號的參考信號為準。
*{{math|''t''<sub>1</sub>}}是待分析系統的輸出到達穩態值{{math|''x%''}}的時間，而{{math|''t''<sub>2</sub>}}是輸出到達穩態值{{math|''y%''}}的時間，兩者單位都是[[秒]]。
*{{math|''t<sub>r</sub>''}}是待分析系統的上昇時間，單位也是秒。依照定義
:<math>t_r = t_2 - t_1.</math>

*{{math|''f<sub>L</sub>''}}為待分析系統較低[[截止頻率]]（-3&nbsp;dB點）的值，單位為[[赫兹]]。
*{{math|''f<sub>H</sub>''}}為待分析系統較高截止頻率的值，單位也是赫兹。
*{{math|''h''(''t'')}}是待分析系統在時域下的[[冲激响应]]。
*{{math|''H''(''ω'')}}是待分析系統在頻域下的[[频率响应]]。
*[[带宽]]定義為

:<math>BW = f_{H} - f_{L}\,</math>

:因為較低的截止頻率{{math|''f<sub>L</sub>''}}往往遠小於較高截止頻率{{math|''f<sub>H</sub>''}}，因此

:<math>BW\cong f_H\,</math>

*所有分析的系統，其頻率響應都延伸到{{math|0}}（低通系統），因此 
:<math>f_L=0\,\Longleftrightarrow\,f_H=BW</math>。

*為了簡化起見，所有「[[#計算上昇時間的簡單範例|計算上昇時間的簡單範例]]」章節中分析的系統都是[[增益]]為1的[[电路]]，所有信號都假設是[[電壓]]：輸入是{{math|''V''<sub>0</sub>}}[[伏特]]的[[阶跃函数]]，因此

:<math>\frac{V(t_1)}{V_0}=\frac{x\%}{100} \qquad \frac{V(t_2)}{V_0}=\frac{y\%}{100}</math>

*{{math|''ζ''}}是特定二階[[微分方程]]的[[阻尼比]]，{{math|''ω''<sub>0</sub>}}則是[[自然頻率]]。

=== 計算上昇時間的簡單範例===
此章節的目的是計算一些簡單系統[[階躍響應]]的上昇時間。

==== 高斯響應系統 ====
系統具有高斯響應的條件是其頻率響應特徵如下

:<math>|H(\omega)|=e^{-\frac{\omega^2}{\sigma^2}} </math>

其中{{math|''σ''&nbsp;<nowiki>></nowiki>&nbsp;0}}為常數<ref>參考{{harv|Valley|Wallman|1948|p=724}}及{{harv|Petitt|McWhorter|1961|p=122}}.</ref>，和高截止頻率有以下的關係：

:<math>f_H = \frac{\sigma}{2\pi} \sqrt{\frac{3}{20}\ln 10} \cong 0.0935 \sigma.</math>

即使這類的頻率響應無法用{{link-en|因果濾波器|causal filter}}實現<ref>根據{{link-en|Paley-Wiener準則|Paley-Wiener criterion}}，像是{{harv|Valley|Wallman|1948|loc=p. 721 and p. 724}}中所提到的。{{harvtxt|Petitt|McWhorter|1961|p=122}}也簡單說明此事實</ref>。其用途是因為其系統特性可以用多個一級[[低通滤波器]]級聯連結而得，其精度會隨著個數增加而變好<ref>參考{{harv|Valley|Wallman|1948|p=724}}, {{harv|Petitt|McWhorter|1961|loc=p. 111, including footnote 1, and p.}}及{{harv|Orwiler|1969|p=30}}.</ref>。對應的[[冲激响应]]可以用[[频率响应]]的反[[傅里叶变换]]計算而得。

:<math>\mathcal{F}^{-1}\{H\}(t)=h(t)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} {e^{-\frac{\omega^2}{\sigma^2}}e^{i\omega t}} d\omega=\frac{\sigma}{2\sqrt{\pi}}e^{-\frac{1}{4}\sigma^2t^2}</math>

直接代入[[階躍響應]]的定義

:<math>V(t) = V_0{H*h}(t) = \frac{V_0}{\sqrt{\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\frac{\sigma t}{2}}e^{-\tau^2}d\tau = \frac{V_0}{2}\left[1+\mathrm{erf}\left(\frac{\sigma t}{2}\right)\right] \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{V(t)}{V_0} = \frac{1}{2}\left[1+\mathrm{erf}\left(\frac{\sigma t}{2}\right)\right].</math>

為了要確認系統由10%上昇到90%需要的時間，需要求解以下方程：

:<math>\frac{V(t_1)}{V_0} = 0.1 = \frac{1}{2}\left[1+\mathrm{erf}\left(\frac{\sigma t_1}{2}\right)\right]
\qquad \frac{V(t_1)}{V_0} = 0.9= \frac{1}{2}\left[1+\mathrm{erf}\left(\frac{\sigma t_2}{2}\right)\right],</math>

利用[[误差函数]]的定義，可以找到{{math|''t''<nowiki>&nbsp;=&nbsp;</nowiki>&nbsp;-&nbsp;''t''<sub>1</sub>&nbsp;<nowiki>=</nowiki>&nbsp;''t''<sub>2</sub>}}的數值，因為{{math|''t<sub>r</sub>''&nbsp;<nowiki>=</nowiki>&nbsp;''t''<sub>2</sub>&nbsp;-&nbsp;''t''<sub>1</sub>&nbsp;<nowiki>=</nowiki>&nbsp;2''t''}},

:<math>t_r=\frac{4}{\sigma}{\mathrm{erf}^{-1}(0.8)}\cong\frac{0.3394}{f_H},</math>

因此

:<math>t_r\cong\frac{0.34}{BW}\quad\Longleftrightarrow\quad BW\cdot t_r\cong 0.34.</math><ref name="Orwp30">Compare with {{harv|Orwiler|1969|p=30}}.</ref>

====一階低通RC電路====
針對一階低通[[RC電路]]<ref>也稱為「單極點濾波器」，例如{{harv|Cherry|Hooper|1969|p=639}}</ref>，10%至90%的上昇時間和網路時間常數{{math|''τ''&nbsp;<nowiki>=</nowiki>&nbsp;''RC''}}成正比：

:<math>t_r\cong 2.197\tau\,</math>

比例常數可以用輸入信號為{{math|''V''<sub>0</sub>}}的阶跃函数時，系統的阶跃反應而得：

:<math>V(t) = V_0 \left(1-e^{-\frac{t}{\tau}} \right)</math>

求解時間

:<math>\frac{V(t)}{V_0}=\left(1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right) \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{V(t)}{V_0}-1=-e^{-\frac{t}{\tau}} \quad \Longleftrightarrow \quad 1-\frac{V(t)}{V_0}=e^{-\frac{t}{\tau}},</math>

最後可得

:<math>\ln\left(1-\frac{V(t)}{V_0}\right)=-\frac{t}{\tau} \quad \Longleftrightarrow \quad t = -\tau \; \ln\left(1-\frac{V(t)}{V_0}\right)</math>

而{{math|''t''<sub>1</sub>}}及{{math|''t''<sub>2</sub>}}滿足以下條件

:<math>\frac{V(t_1)}{V_0}=0.1 \qquad \frac{V(t_2)}{V_0}=0.9,</math>

求解方程可得{{math|''t''<sub>1</sub>}}和{{math|''t''<sub>2</sub>}}的解析式

:<math> t_1 = -\tau\;\ln\left(1-0.1\right) = -\tau \; \ln\left(0.9\right) = -\tau\;\ln\left(\frac{9}{10}\right) = \tau\;\ln\left(\frac{10}{9}\right) = \tau({\ln 10}-{\ln 9})</math>

:<math>t_2=\tau\ln{10}\,</math>

上昇時間和時間常數成正比<ref>比較{{harv|Valley|Wallman|1948|loc=p. 72, formula (2)}}、 {{harv|Cherry|Hooper|1969|loc=p. 639, formula (13.3)}}或{{harv|Orwiler|1969|loc=p. 22 and p. 30}}的內容</ref>：

:<math>t_r = t_2-t_1 = \tau\cdot\ln 9\cong\tau\cdot 2.197</math>

另外，根據

:<math>\tau = RC = \frac{1}{2\pi f_H},</math>

則

:<math>t_r=\frac{2\ln3}{2\pi f_H}=\frac{\ln3}{\pi f_H}\cong\frac{0.349}{f_H},</math>

因為上截止頻率等於頻寬

:<math>t_r\cong\frac{0.35}{BW}\quad\Longleftrightarrow\quad BW\cdot t_r\cong 0.35.</math><ref name="Orwp30" />

另外，若考慮20%至80%的上昇時間，{{math|''t<sub>r</sub>''}}會變成：

:<math>t_r = \tau\cdot\ln\frac{8}{2}=(2\ln2)\tau
\cong1.386\tau\quad\Longleftrightarrow\quad t_r=\frac{\ln2}{\pi BW}\cong\frac{0.22}{BW}</math>

====一階低通LR電路====
等於一個簡單的一階低通RL電路，其10%至90%的上昇時間和電路時間常數{{math|''τ''&nbsp;<nowiki>=</nowiki>&nbsp;''{{frac|L|R}}''}}成正比。其和RC電路的差異只在於不同電路中時間常數{{math|''τ''}}的表示方式不同。因此可得到下式

:<math>t_r=\tau\cdot\ln 9 = \frac{L}{R}\cdot\ln 9\cong \frac{L}{R} \cdot 2.197</math>

=== 阻尼二階系統 ===
根據{{harvtxt|Levine|1996|p=158}}，控制系統中欠阻尼系統的上昇時間定義為輸出從0%到達終值100%的時間<ref name="risedef"/>。二階欠阻尼系統的上昇時間如下<ref>See {{harv|Ogata|2010|p=171}}.</ref>：

:<math> t_r \cdot\omega_0= \frac{1}{\sqrt{1-\zeta^2}}\left [ \pi - \tan^{-1}\left ( {\frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta}} \right )\right ]</math>

沒有零點的二階系統，其[[階躍響應]]下的正規上昇時間可以[[二次函数]][[近似]]如下：
:<math> t_r \cdot\omega_0= 2.230\zeta^2-0.078\zeta+1.12\,</math>  

中{{math|''ζ''}}是[[阻尼比]]，{{math|''ω''<sub>0</sub>}}是電路的[[自然頻率]]。
=== 級聯模組的上昇時間 ===
考慮{{math|''n''}}個非交聯的級聯模組組成的系統，每一個的上昇時間為{{math|''t<sub>r<sub>i</sub></sub>''}},  {{math|''i''&nbsp;<nowiki>=</nowiki>&nbsp;1,...,''n''}}，其[[階躍響應]]沒有[[过冲]]，假設第一個模組的輸入信號的上昇時間為{{math|''t<sub>r<sub>S</sub></sub>''}}.<ref>"{{math|''S''}}表示「來源」，可能是[[电流源]]或[[电压源]]</ref>。其輸出的上昇時間{{math|''t''<sub>''r''<sub>0</sub></sub>}}為

:<math>t_{r_O}=\sqrt{t_{r_S}^2+t_{r_1}^2+\dots+t_{r_n}^2}</math>

依照{{Harvtxt|Valley|Wallman|1948|pp=77–78}}，此結果可以用[[中心极限定理]]來說明，已由{{Harvtxt|Wallman|1950}}證明<ref>這份一頁的論文沒有任何計算。{{link-en|Henry Wallman|Henry Wallman}}列出了一個他稱為詞典的表，將[[电子工程]]及[[概率论]]的概念並排。關鍵是使用[[拉普拉斯变换]]。接著他提到，依照詞典中這些概念的結果。計多級聯模組的[[階躍響應]]可以對應[[中心极限定理]]，並且提到：「這是重要的實務結果，前提是電路沒有過衝，其反應時間會隨著級聯個數而增加，約和個數的均方根成正比。」{{harv|Wallman|1950|p=91}}.</ref><ref>也可以參考{{harv|Cherry|Hooper|1969|p=656}}及{{harv|Orwiler|1969|pp=27–28}}.</ref>。此問題的詳細分析可以參考{{harvtxt|Petitt|McWhorter|1961|loc=§4–9, pp. 107–115}},<ref>由{{harv|Cherry|Hooper|1969|p=656}}引用</ref>，他指出{{harvtxt|Elmore|1948}}是第一個用比較嚴謹的基礎證明上述公式的人<ref>參考{{harv|Petitt|McWhorter|1961|p=109}}.</ref>。
== 相關條目 ==
*[[下降時間]]
*[[频率响应]]
*[[冲激响应]]
*[[階躍響應]]
*[[安定時間]]

==腳註==
{{reflist|30em}}

== 參考資料 ==
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[[Category:控制理论| ]]
[[Category:控制工程]]
[[Category:计算数学]]
[[Category:暫態響應特性]]