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[[代数拓扑]]中，[[拓扑空间]]''X'' 的'''上同调环'''是由''X''的[[上同调群]]与[[上积]]组成的[[环 (数学)|环]]。此处，“上同调”指[[奇异上同调]]，不过环结构也存在于[[德拉姆上同调]]等其他理论中。它也是[[函子]]式的：对于空间中的[[连续]]映射，可在上同调环上得到反变（contravariant）的[[环同态]]。

具体来说，给定''X''上的上同调群<math>H^k(X;\ R)</math>序列，其系数在[[交换环]]''R''（一般是'''Z'''<sub>''n''</sub>、'''Z'''、 '''Q'''、'''R'''、'''C'''）中，就可以定义[[上积]]：

:<math>H^k(X;R) \times H^\ell(X;R) \to H^{k+\ell}(X; R).</math>

上积给出了上同调群

:<math>H^\bullet(X;R) = \bigoplus_{k\in\mathbb{N}} H^k(X; R).</math>

的[[模的直和|直和]]的乘法，将<math>H^\bullet(X;R)</math>变成了环。实际上，它自然是一个'''N'''次环，非负整数''k''为次数。上积保持分次不变。

上同调环是[[分次交换环|分次交换]]的，即上积与由分次定义的符号交换。具体地，对度为''k''、ℓ的纯元素，有
:<math>(\alpha^k \smile \beta^\ell) = (-1)^{k\ell}(\beta^\ell \smile \alpha^k).</math>

上同调环衍生出的一个数值不变量是'''上积长'''（cup-length），即度数≥ 1、积不为零的分次元素的最大数目。例如，[[复射影空间]]的上积长等于其[[复维度]]。

== 例子 ==
*<math>\operatorname{H}^*(\mathbb{R}P^n; \mathbb{F}_2) = \mathbb{F}_2[\alpha]/(\alpha^{n+1})</math> where <math>|\alpha|=1</math>.
*<math>\operatorname{H}^*(\mathbb{R}P^\infty; \mathbb{F}_2) = \mathbb{F}_2[\alpha]</math> where <math>|\alpha|=1</math>.
*<math>\operatorname{H}^*(\mathbb{C}P^n; \mathbb{Z}) = \mathbb{Z}[\alpha]/(\alpha^{n+1})</math> where <math>|\alpha|=2</math>.
*<math>\operatorname{H}^*(\mathbb{C}P^\infty; \mathbb{Z}) = \mathbb{Z}[\alpha]</math> where <math>|\alpha|=2</math>.
*<math>\operatorname{H}^*(\mathbb{H}P^n; \mathbb{Z}) = \mathbb{Z}[\alpha]/(\alpha^{n+1})</math> where <math>|\alpha|=4</math>.
*<math>\operatorname{H}^*(\mathbb{H}P^\infty; \mathbb{Z}) = \mathbb{Z}[\alpha]</math> where <math>|\alpha|=4</math>.
*据[[克奈定理]]，''n''份<math>\mathbb{R}P^\infty</math>的笛卡尔积的模2上同调环是一个系数在<math>\mathbb{F}_2</math>中的''n''变量多项式环。
*楔和的退化上同调环是它们的退化上同调环的直积。
*除了度为0的部分，悬挂（suspension）的上同调环为0。

== 另见 ==
*[[量子上同调]]

==参考文献==
* {{Cite book| first= S. P. |last=Novikov|title=Topology I, General Survey|publisher= Springer-Verlag|year=1996|isbn= 7-03-016673-6}}

[[Category:同调论]]