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[[File:SiCi.png|right|200px|thumb|Si(x)（红）和Ci(x)（蓝）]]
'''三角积分'''是含有[[三角函数]]的一种[[积分]]。一些简单的含有三角函数的积分，可在[[三角函数积分表]]中找到。 

== 正弦积分 ==
{{main|Si 函数}}
有两种不同的[[正弦]]积分：

:<math>{\rm Si}(x) = \int_0^x\frac{\sin t}{t}\,dt</math>

:<math>{\rm si}(x) = -\int_x^\infty\frac{\sin t}{t}\,dt</math>

<math>{\rm Si}(x)\,</math>是<math>\frac{\sin x}{x}\,</math>的原函数，当<math>x=0\,</math>时为零；<math>{\rm si}(x)\,</math>是<math>\frac{\sin x}{x}\,</math>的原函数，当<math>x=\infty</math>时为零。我们有：
:<math>{\rm si}(x) = {\rm Si}(x) - \frac{\pi}{2}</math>

注意到<math>\frac{\sin t}{t}</math>是[[sinc函数]]，也是第零个[[贝塞尔函数#球贝塞尔函数|球贝塞尔函数]]。

== 余弦积分 ==
有两种不同的[[余弦]]积分：

:<math>{\rm Ci}(x) = \gamma + \ln x + \int_0^x\frac{\cos t-1}{t}\,dt</math>

:<math>{\rm ci}(x) = -\int_x^\infty\frac{\cos t}{t}\,dt</math>

:<math>{\rm Cin}(x) = \int_0^x\frac{1-\cos t}{t}\,dt</math>

其中<math>\gamma</math>是[[欧拉-马斯刻若尼常数]].

<math>{\rm ci}(x)\,</math>是<math>\frac{\cos x}{x}</math>的原函数，当<math>x \to \infty</math>时为零。我们有：

:<math>{\rm ci}(x)={\rm Ci}(x)\,</math>
:<math>{\rm Cin}(x)=\gamma+\ln x-{\rm Ci}(x)\,</math>

== 双曲正弦积分 ==
{{main|双曲正弦积分函数}}
:<math>{\rm Shi}(x) = \int_0^x\frac{\sinh t}{t}\,dt = {\rm shi}(x).</math>

== 双曲余弦积分 ==
{{main|Chi 函数}}
:<math>{\rm Chi}(x) = \gamma+\ln x + \int_0^x\frac{\cosh t-1}{t}\,dt = {\rm chi}(x)</math>

== 展开式 ==
有各种各样的展开式，可以用于计算三角积分。

=== 渐近展开式 ===

:<math>{\rm Si}(x)=\frac{\pi}{2} 
                 - \frac{\cos x}{x}\left(1-\frac{2!}{x^{2}}+...\right)
                 - \frac{\sin x}{x}\left(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^{3}}+...\right)</math>
:<math>{\rm Ci}(x)= \frac{\sin x}{x}\left(1-\frac{2!}{x^{2}}+...\right)
                   -\frac{\cos x}{x}\left(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^{3}}+...\right)</math>

这些级数是发散的，但可以用来估计，甚至是精确计算三角积分。

=== 收敛级数 ===

:<math>{\rm Si}(x)= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!\cdot3}+\frac{x^5}{5!\cdot5}-\frac{x^7}{7! \cdot7}\pm\cdots</math>
:<math>{\rm Ci}(x)= \gamma+\ln x+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{2n(2n)!}=\gamma+\ln x-\frac{x^2}{2!\cdot2}+\frac{x^4}{4! \cdot4}\mp\cdots</math>

这些级数对于任何复数的<math>~x~</math>都是收敛的，但当<math>|x|\gg 1</math>时，计算非常缓慢，也不是很精确。

== 与指数积分的关系 ==
函数
: <math>
{\rm E}_1(z) = \int_1^\infty
\frac
{\exp(-zt)}
{t}
{\rm d} t
~~,~~~~({\rm Re}(z) \ge 0)
</math>
称为[[指数积分]]，与正弦和余弦积分有以下的关系：
:<math>
{\rm E}_1( {\rm i}\!~ x) = i\left(-\frac{\pi}{2} + {\rm Si}(x)\right)-{\rm Ci}(x) = i~{\rm si}(x) - {\rm ci}(x) \qquad(x>0)
</math>

== 参见 ==
* [[指数积分]]
* [[对数积分]]

== 参考文献 ==
* Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. ''[[Handbook of Mathematical Functions]] with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables.'' New York: Dover, 1972. ''[http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_228.htm （See Chapter 5）]{{Wayback|url=http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_228.htm |date=20080523020847 }}''
** ''[http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_231.htm 第5.2节，正弦和余弦积分]{{Wayback|url=http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_231.htm |date=20080624131603 }}''

[[Category:三角学]]
[[Category:特殊函数|T]]
[[Category:特殊超几何函数|T]]
[[Category:积分]]