查看“︁三角换元法”︁的源代码

{{noteTA|T=zh-tw:三角代換法|zh:换元;zh-tw:代換}}
{{微积分学}}{{unreferenced|time=2024-06-20}}{{三角学}}
'''三角换元法'''是一种计算[[积分]]的方法，是[[换元积分法]]的一个特例。
== 含有''a''<sup>2</sup>-''x''<sup>2</sup>的积分 ==
在积分

:<math>\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}</math>

中，我们可以用以下的代换

:<math>x=a\sin\theta,\ dx=a\cos\theta\,d\theta</math>
:<math>\theta=\arcsin\frac{x}{a}</math>

这样，积分变为：

:<math>\begin{align}
\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} &= \int\frac{a\cos\theta\,d\theta}{\sqrt{a^2-a^2\sin^2\theta}} \\
&= \int\frac{a\cos\theta\,d\theta}{\sqrt{a^2(1-\sin^2\theta)}}\\
&=\int\frac{a\cos\theta\,d\theta}{\sqrt{a^2\cos^2\theta}} \\
&= \int d\theta=\theta+C\\
&=\arcsin\frac{x}{a}+C\\
\end{align} </math>

注意以上的步骤需要<math>a>0 </math>和<math>\cos\theta>0 </math>；我们可以选择<math>a </math>为<math>a^2 </math>的算术平方根，然后用[[反正弦]]函数把<math>\theta </math>限制为<math>-\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2} </math>。

对于定积分的计算，我们必须知道积分限是怎样变化。例如，当<math>x </math>从0增加到<math>\frac{a}{2} </math>时，<math>\sin\theta </math>从0增加到<math>\frac{1}{2} </math>，所以<math>\theta </math>从0增加到<math>\frac{\pi}{6} </math>。因此，我们有：

:<math>\int_0^{\frac{a}{2}}\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}
=\int_0^{\frac{\pi}{6}}d\theta=\frac{\pi}{6}.</math>

== 含有''a''<sup>2</sup>+''x''<sup>2</sup>的积分 ==
在积分

:<math>\int\frac{dx}{a^2+x^2}</math>

中，我们可以用以下的代换：

:<math>x=a\tan\theta,\ dx=a\sec^2\theta\,d\theta</math>

:<math>\theta=\arctan\frac{x}{a}</math>

这样，积分变为：

:<math>
\begin{align}
\quad \int\frac{dx}{a^2+x^2} &= \int\frac{a\sec^2\theta\,d\theta}{a^2+a^2\tan^2\theta} \\
&= \int\frac{a\sec^2\theta\,d\theta}{a^2[1+\tan^2\theta]} \\
&= \int \frac{a\sec^2\theta\,d\theta}{a^2\sec^2\theta} \\
&= \int \frac{d\theta}{a} \\
&= \frac{\theta}{a}+C \\
&= \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a}+C
\end{align}
</math>

（''a'' > 0）。

== 含有''x''<sup>2</sup> − ''a''<sup>2</sup>的积分 ==
以下的积分

:<math>\int\frac{dx}{x^2 - a^2}</math>

可以用[[部分分式]]的方法来计算，但是，

:<math>\int\sqrt{x^2 - a^2}\,dx</math>

则必须要用换元法：

:<math>x = a \sec\theta,\ dx = a \sec\theta\tan\theta\,d\theta</math>

:<math>\theta = \arcsec\frac{x}{a}</math>

:<math>
\begin{align}
\quad \int\sqrt{x^2 - a^2}\,dx&= \int\sqrt{a^2 \sec^2\theta - a^2} \cdot a \sec\theta\tan\theta\,d\theta \\
&= \int\sqrt{a^2 (\sec^2\theta - 1)} \cdot a \sec\theta\tan\theta\,d\theta \\
&= \int\sqrt{a^2 \tan^2\theta} \cdot a \sec\theta\tan\theta\,d\theta \\
&= \int a^2 \sec\theta\tan^2\theta\,d\theta \\
&= a^2 \int \sec\theta\ (\sec^2\theta - 1)\,d\theta \\
&= a^2 \int (\sec^3\theta - \sec\theta)\,d\theta.
\end{align}
</math>

== 含有三角函数的积分 ==

对于含有三角函数的积分，可以用以下的代换：

:<math>\int f(\sin x,\cos x)\,dx=\int\frac1{\pm\sqrt{1-u^2}}f\left(u,\pm\sqrt{1-u^2}\right)\,du, \qquad \qquad  u=\sin x</math>

:<math>\int f(\sin x,\cos x)\,dx=\int\frac{-1}{\pm\sqrt{1-u^2}}f\left(\pm\sqrt{1-u^2},u\right)\,du \qquad \qquad u=\cos x</math>

:<math>\int f(\sin x,\cos x)\,dx=\int\frac2{1+u^2} f\left(\frac{2u}{1+u^2},\frac{1-u^2}{1+u^2}\right)\,du \qquad \qquad  u=\tan\frac x2</math>

:<math>\begin{align}
\int\frac{\cos x}{(1+\cos x)^3}\,dx &= \int\frac2{1+u^2}\frac{\frac{1-u^2}{1+u^2}}{\left(1+\frac{1-u^2}{1+u^2}\right)^3}\,du \\
&=\frac{1}{4}\int(1-u^4)\,du \\
&= \frac{1}{4}\left(u-\frac15u^5\right) + C \\
&= \frac{(1+3\cos x+\cos^2x)\sin x}{5(1+\cos x)^3} + C
\end{align}</math>

== 参见 ==
* [[正切半角公式]]
<!--* [[立方正割函数的积分]]-->

[[Category:积分学]]
[[Category:三角学]]