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{{Expand|time=2013-02-14T05:00:14+00:00 }}
'''三角平方數'''是既是[[三角形數]]，又是[[平方數]]的數。三角平方數有[[無限]]個，可以由以下公式求得：

:<math> N_k = {1 \over 32} \left[ \left( 1 + \sqrt{2} \right)^{2k} - \left( 1 - \sqrt{2} \right)^{2k} \right]^2  </math>

找尋三角平方數的問題可用以下方法簡化成[[佩爾方程]]。每個平方數的形式為<math> m^2</math>，三角形數的則為<math> \frac{n(n-1)}{2}</math>。於是求n, m使得：

:<math>\frac{n(n-1)}{2}=m^2</math>
:<math>n(n-1)=2m^2</math>
:<math>n^2-n+\frac{1}{4}=2m^2+\frac{1}{4}</math>
:<math>4n^2-4n+1=8m^2+1</math>
:<math>(2n-1)^2=8m^2+1</math>

設<math>k=2n-1</math>，<math>p=2m</math>，代入之，得方程<math>k^2=2p^2+1</math>。

第<math>k</math>個三角平方數<math>N</math>等於第<math>s</math>個平方數及第<math>t</math>個三角形數，它們的關係為

:<math> s(N) = \sqrt{N} </math>
:<math> t(N) = \lfloor \sqrt{2 N} \rfloor </math>

<math>t</math>可以由下面的方式得出：
:<math> t(N_k) = {1 \over 4} \left\{ \left[ \left( 1 + \sqrt{2} \right)^k + \left( 1 - \sqrt{2} \right)^k \right]^2 - \left[ 1 + (-1)^k \right]^2 \right\} </math>

<math>N</math>亦可用[[遞歸]]的方式求得：
:<math>N_0=0</math>
:<math>N_1=1</math>
:<math>N_k=34N_{k-1} - N_{k-2} + 2</math>

當<math>k</math>越大，<math>\tfrac{t}{s}</math>就會趨近<math>\sqrt2</math>：

<math> \begin{matrix} N=1 & s=1 & t=1 & \frac{t}{s}=1
\\ N=36 & s=6 & t=8 & \frac{t}{s} = 1.3333333
\\ N=1225 & s=35 & t=49 & \frac{t}{s} = 1.4
\\ N=41616 & s=204 & t=288 & \frac{t}{s} = 1.4117647
\\ N=1,413,721 & s=1189 & t=1681 & \frac{t}{s} = 1.4137931
\\ N=48,024,900 & s=6930 & t=9800 & \frac{t}{s} = 1.4141414
\\ N=1,631,432,881 & s=40391 & t=57121 & \frac{t}{s} = 1.4142011
\end{matrix} </math>

它們實際上是「為[[偶數]]的[[佩爾數]]」的一半再平方的值。

== 相關問題 ==
[[大衛·蓋爾]]曾提出一條問題：求對於哪些''n''，使得1,2,3,4...,''n''這個數列中，存在一個數''s''，在''s''之前的數之和跟在''s''之後的數之和相等。例如1,2,3,...,8中，6就是這樣的一個數，1+2+3+4+5=7+8

解答：
根據題意列方程，得到''s''(''s''-1)/2 = (''s''+''n''+1)(''n''-''s'')/2
''s''<sup>2</sup> = ''n''(''n''+1)/2

當第''n''個三角形數是平方數時，就符合題目的條件。（參考：[https://web.archive.org/web/20060107091957/http://www.msri.org/communications/emissary/index_html Puzzles Column of The Emissary (Fall2005)]）


== 參考 ==
*[http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/triSquare.shtml Triangular numbers that are also square]{{Wayback|url=http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/triSquare.shtml |date=20060427075825 }} From Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles.
{{有形數}}
[[Category:多邊形數及多面體數|3,4]]