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[[File:triangle_inequality.svg|thumb|290px|right|在三角形中，两条边的长度之和总是大于第三边。]]
[[File:Euclid triangle inequality.svg|缩略图|证明所用的三角形]]
'''三角不等式'''是[[數學]]上的一個[[不等式]]，表示從A到B再到C的[[距離]]永不少於從A到C的距離；亦可以說是兩項獨立物件的量之和不少於其和的量。它除了適用於三角形之外，還適用於其他數學範疇及日常生活中。

== 几何 ==

=== 标量 ===
在三角形ABC中，这个式子用[[标量 (数学)|标量]]可以写作<math>\overline{AB}+\overline{BC}\geq \overline{AC}</math>。

当该式取不等号时，可以由[[平行公設|欧几里得第五公设]]导出；[[欧几里得]]给出的证明记载于《[[几何原本]]》第一卷命题20：（证明所用的辅助图像见右）<ref>{{Cite web|url=https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propI20.html|title=Euclid's Elements, Book I, Proposition 20|accessdate=2018-07-09|work=mathcs.clarku.edu|archive-date=2017-08-15|archive-url=https://web.archive.org/web/20170815171539/http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propI20.html|dead-url=no}}</ref>

现在，我们有三角形ABC。延长<math>\overline{AB}</math>至点D，并使<math>\overline{BD}=\overline{BC}</math>，联结<math>\overline{DC}</math>。

那么，三角形BCD为等腰三角形，所以<math>\angle BDC=\angle BCD</math>。记它们均为<math>\alpha</math>。

根据欧几里得第五公设，角<math>\beta</math>也就是<math>\angle ACD</math>大于角<math>\alpha</math>（<math>\angle BCD</math>，也就是<math>\angle BDC</math>）；

由于角<math>\beta</math>对应边<math>\overline{AD}</math>，角<math>\alpha</math>对应边<math>\overline{AC}</math>，因此<math>\overline{AD}>\overline{AC}</math>（大角对大边，命题19）。<ref>{{Cite web|url=https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propI19.html|title=Euclid's Elements, Book I, Proposition 19|accessdate=2018-07-09|work=mathcs.clarku.edu|archive-date=2021-12-08|archive-url=https://web.archive.org/web/20211208064617/https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propI19.html|dead-url=no}}</ref>

又由于<math>\overline{DB}=\overline{BC}</math>，所以<math>\overline{AD}=\overline{AB}+\overline{BD}=\overline{AB}+\overline{BC}>\overline{AC}</math>，即证。

如果我们将该式左右各减去<math>\overline{BC}</math>，便能得到<math>\overline{AB}>\overline{AC}-\overline{BC}</math>，这便是三角不等式的另一种表达方法：'''三角形的两边之差小于第三边'''。

当该式取等号的时候，其已经不属于[[欧几里得几何|欧氏几何]]的范畴，这种情况只有可能在[[球面三角學|球面三角形]]中出现，此时<math>\left|a - b\right| \le c \le a + b </math>，而a, b, c为三角形三边的长。

=== 向量 ===
用[[向量]]的写法，这个不等式可以写成：

:<math>\left| \overrightarrow{AC} \right| \leq \left| \overrightarrow{AB} \right| + \left| \overrightarrow{BC} \right|</math>

上式和标量的写法明显是等价的。

考虑到<math>\overrightarrow{AB} +  \overrightarrow{BC} =  \overrightarrow{AC} </math>，该式也可以写成：<math>\left| \overrightarrow{AB} +  \overrightarrow{BC} \right| \leq \left| \overrightarrow{AB} \right| + \left| \overrightarrow{BC} \right|</math>，这种情况的形式和下方实数中的形式是一致的。

如果根据向量构建[[笛卡尔坐标系|平面直角坐标系]]，则可以用代数的方式予以证明。

还是以右图中的三角形为例子。假设在坐标系中，向量<math> \overrightarrow{AB}</math>的方向向量为<math>(x_1,y_1)</math>，向量<math>\overrightarrow{BC}</math>的方向向量为<math>(x_2,y_2)</math>，

那么因为<math>\overrightarrow{AB} +  \overrightarrow{BC} =  \overrightarrow{AC} </math>，得向量<math>\overrightarrow{AC} </math>的方向向量为<math>(x_1+x_2,y_1+y_2)</math>。

因此，<math>\left| \overrightarrow{AB} \right|+ \left| \overrightarrow{BC} \right|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}+\sqrt{x_2^2+y_2^2}</math>，<math>\left| \overrightarrow{AC} \right|=\sqrt{(x_1+x_2)^2+(y_1+y_2)^2}</math>。

所以，<math>\left|\overrightarrow{AB}\right|+ \left| \overrightarrow{BC}\right |-\left| \overrightarrow{AC}\right|=2\sqrt{x_1^2x_2^2+x_1^2y_2^2+x_2^2y_1^2+y_1^2y_2^2}-2x_1x_2-2y_1y_2</math>。

而<math>(2\sqrt{x_1^2x_2^2+x_1^2y_2^2+x_2^2y_1^2+y_1^2y_2^2})^2=4x_1^2x_2^2+4x_1^2y_2^2+4x_2^2y_1^2+4y_1^2y_2^2</math>，<math>(2x_1x_2+2y_1y_2)^2=4x_1^2x_2^2+8x_1x_2y_1y_2+4y_1^2y_2^2</math>，

两者相减再配方，得到<math>(2x_1y_2-2x_2y_1)^2</math>，该式实际上是<math>(\left|\overrightarrow{AB}\right|+ \left| \overrightarrow{BC}\right |)^2-(\left|\overrightarrow{AC}\right|)^2</math>的值。

当且仅当<math>x_1y_2=x_2y_1</math>时，该式的值为0，而此时我们可以推出<math>x_1=kx_2,y_1=ky_2,k\in \Re</math>，这说明<math>x_1</math>和<math>x_2</math>、<math>y_1</math>和<math>y_2</math>都是平行的。而由于<math>x_1</math>，也就是向量<math> \overrightarrow{AB}</math>的终点和<math>x_2</math>，也就是向量<math>\overrightarrow{BC}</math>的起点是相同的，显然<math> \overrightarrow{AB}</math>和<math>\overrightarrow{BC}</math>共线。这种情况在欧氏几何中是不可能的，只有在[[非欧几里得几何|非欧几何]]的情况下才能成立。用<math>y_1</math>和<math>y_2</math>平行也一样能够推出<math> \overrightarrow{AB}</math>和<math>\overrightarrow{BC}</math>共线。

其他任何情况，也就是<math>x_1y_2\neq x_2y_1</math>时，该式取到不等号，适用于欧氏几何。

将向量形式的三角不等式两边减去相同的向量，同样能够推出三角形的两边之差小于第三边。

== 實數 ==
在实数中，此式依然成立：<math>\left| a + b \right| \le \left| a \right| + \left| b \right|</math>。

證明如下：

考慮到[[實數]]的平方必然是[[非负数]]，將兩邊平方，使它剩下一套絕對值符號：

:<math> a^2 + 2ab + b^2 \le a^2 + \left| 2ab \right| + b^2</math>
:<math> 2ab \le \left| 2ab \right|</math>

對於<math>(a < 0, b > 0) \lor (b < 0, a > 0)</math>（即a, b彼此異號），<math> 2ab < \left| 2ab \right|</math>；

對於<math>(a, b \le 0) \lor (a, b \geq 0) </math>（即a, b彼此同號），<math> 2ab = \left| 2ab \right|</math>。

像几何中的情况一样，该式的推论为：<math>\left|\left| a \right| - \left| b \right|\right| \le \left| a \pm b \right| \le \left| a \right| + \left| b \right|</math>。
== 反方向 ==
在[[閔考斯基時空]]，三角不等式是反方向的：

: ||''x'' + ''y''|| ≥ ||''x''|| + ||''y''|| &nbsp;&nbsp;&nbsp; 对所有 ''x'', ''y'' <math>\in</math> ''V''，使得||''x''|| ≥ 0, ||''y''|| ≥ 0 和 ''t<sub>x</sub>'' ''t<sub>y</sub>'' ≥ 0

這個不等式的[[物理]]例子可以在[[狹義相對論]]中的[[雙生子佯謬]]找到。

== 參見 ==
* [[次可加性]]

== 参考文献 ==
{{Reflist}}
[[Category:度量几何]]
[[Category:几何不等式]]
[[Category:三角形几何]]