查看“︁三维投影”︁的源代码

{{NoteTA
|T=zh-cn:三维投影; zh-tw:3D投影;
|1=zh-cn:三维; zh-tw:3D;
|2=zh-cn:二维; zh-tw:2D;
}}

'''三维投影'''是将三维空间中的点映射到二维平面上的方法。由于目前绝大多数图形数据的显示方式仍是二维的，因此三维投影的应用相当广泛，尤其是在计算机图形学，工程学和[[技术制图|工程制图]]中。

==分类==
*'''三维图形平面投影'''
**'''平行投影'''：投影中心与投影平面的距离是无限的，投影线相互平行
***'''正投影（正交投影）'''：投影线垂直于投影平面
****'''多视图投影'''：物体的坐标面与投影面平行，正视图、侧视图、俯视图
****'''轴测投影'''：物体的三个坐标面或坐标轴与投影面均不平行
*****'''正等轴测投影（正等测）'''：投影时三个坐标轴等比例缩放，投影面坐标轴夹角120°
*****'''正二轴测投影（正二测）'''：投影时两个坐标轴等比例缩放，第三个坐标轴缩放比例不同
*****'''正三轴测投影（正三测）'''：投影时三个坐标轴缩放比例均不相等
***'''斜投影'''：投影线不垂直于投影平面
****'''斜等轴测投影（斜等测）'''
****'''斜二轴测投影（斜二测）'''
****'''斜三轴测投影（斜三测）'''
**'''透视投影'''：投影中心与投影平面的距离是有限的
***一点透视
***两点透视
***三点透视


==平行投影==
平行投影是投影线相互平行的投影。若投影线垂直于投影面则称正投影，若投影面倾斜于投影面则称斜投影。

===正交投影===
正交投影是一系列用于显示三维物体的轮廓、细节或精确测量结果的变换方法。通常又称作截面图、鸟瞰图或立面图。

当视平面的法向（即摄像机的朝向）平行于[[笛卡尔坐标]]系三根坐标轴中的一根，数学变换定义如下：
若使用一个平行于y轴（侧视图）的正交投影将三维点<math>a_x</math>, <math>a_y</math>, <math>a_z</math>投影到二维平面上得到二维点<math>b_x</math>, <math>b_y</math>，可以使用如下公式
:<math>
b_x = s_x a_x + c_x
</math>
:<math>
b_y = s_z a_z + c_z
</math>
其中向量'''s'''是一个任意的缩放因子，而'''c'''是一个任意的偏移量。这些常量可自由选择，通常用于将[[视口]]调整到一个合适的位置。该投影变换同样可以使用矩阵表示（为清晰起见引入临时向量'''d'''）
:<math>
 \begin{bmatrix}
   {d_x }  \\
   {d_y }  \\
 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
   1 & 0 & 0  \\
   0 & 0 & 1  \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
   {a_x }  \\
   {a_y }  \\
   {a_z }  \\
\end{bmatrix}
</math>
:<math>
 \begin{bmatrix}
   {b_x }  \\
   {b_y }  \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
   {s_x } & 0  \\
   0 & {s_z }  \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
   {d_x }  \\
   {d_y }  \\
\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
   {c_x }  \\
   {c_z }  \\
\end{bmatrix}.
</math>


虽然正交投影产生的图像在一定程度上反映了物体的三维特性，但此类投影图像和实际观测到的并不相同。特别是对于相同长度的平行线段，无论离虚拟观察者（摄像机）远近与否，它们都会在正交投影中显示为相同长度。这会导致较近的线段看起来被缩短了。

===斜投影===
斜投影不像正交投影一样投影线垂直于投影面，而是投影线与投影面成非90度的斜角。

==透视投影==
{{主条目|变换矩阵}}

[[透视投影]]的定义更为复杂。可以将其理解为透过摄像机取景器对于被投影物体进行观察。摄像机的位置、朝向和[[视野]]都将影响投影变换的结果。我们定义以下变量来对这一变换进行描述：
* <math>\mathbf{a}_{x,y,z}</math>：将被投影的三维空间中的点。
* <math>\mathbf{c}_{x,y,z}</math>：摄像机的位置。
* <math>\mathbf{\theta}_{x,y,z}</math>：摄像机的旋转角度。当 <math>\mathbf{c}_{x,y,z}</math>=<0,0,0>且 <math>\mathbf{\theta}_{x,y,z}</math>=<0,0,0>, 三维向量<1,2,0>将被投影到二维向量<1,2>。
* <math>\mathbf{e}_{x,y,z}</math>：观测者相对显示平面的位置。<ref>{{citation
|author=Ingrid Carlbom, Joseph Paciorek
|title=Planar Geometric Projections and Viewing Transformations
|journal=[[ACM Computing Surveys]]
|volume=10
|issue=4
|pages=465–502
|year=1978
|doi=10.1145/356744.356750
}}.</ref>
最终结果为：
* <math>\mathbf{b}_{x,y}</math>：<math>\mathbf{a}</math>所产生的二维投影。

首先我们定义点<math>\mathbf{d}_{x,y,z}</math>作为点<math>\mathbf{a}</math>向摄像机[[坐标系]]所作的[[变换]]，其中摄像机[[坐标系]]由摄像机的位置<math>\mathbf{c}</math>和旋转<math>\mathbf{\theta}_{x,y,z}</math>所决定。该过程为：先用<math>\mathbf{a}</math>[[矩阵加法|减去]]<math>\mathbf{c}</math>，然后使用由<math>-\mathbf{\theta}</math>产生的[[旋转矩阵]]乘上该结果。该变换通常称为摄像机变换(注意该计算过程假设使用[[笛卡尔坐标系#取向|左手法则]])：
<!--Orthogonal transformation (pg 931) and Matrix and Adaptation for n-dimensional arbitrary rotation (pg 942):--><ref>{{cite book
  | last = Riley | first = K F
  | title = Mathematical Methods for Physics and Engineering
  | url = https://archive.org/details/mathematicalmeth00rile | year = 2006
  | publisher = [[Cambridge University Press]]
  | pages = [https://archive.org/details/mathematicalmeth00rile/page/931 931],942
  | doi = 10.2277/0521679710
  | isbn = 0521679710 }}
</ref>
<!--Related form, using rotation around intermediate axes--><ref>{{cite book
  | last = Goldstein| first = Herbert
  | title = Classical Mechanics 2nd Edn.
  | url = https://archive.org/details/classicalmechani00gold_639| year = 1980
  | pages = [https://archive.org/details/classicalmechani00gold_639/page/146 146]–148
  | isbn = 0201029189
  | publisher = Addison-Wesley Pub. Co.
  | location = Reading, Mass. }}
</ref>
:<math>
\begin{bmatrix}
   \mathbf{d}_x \\
   \mathbf{d}_y \\
   \mathbf{d}_z \\
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
   1 & 0 & 0  \\
   0 & {\cos ( \mathbf{- \theta}_x ) } & { - \sin ( \mathbf{- \theta}_x ) }  \\
   0 & { \sin ( \mathbf{- \theta}_x ) } & { \cos ( \mathbf{- \theta}_x ) }  \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
   { \cos ( \mathbf{- \theta}_y ) } & 0 & { \sin ( \mathbf{- \theta}_y ) }  \\
   0 & 1 & 0  \\
   { - \sin ( \mathbf{- \theta}_y ) } & 0 & { \cos ( \mathbf{- \theta}_y ) }  \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
   { \cos ( \mathbf{- \theta}_z ) } & { - \sin ( \mathbf{- \theta}_z ) } & 0  \\
   { \sin ( \mathbf{- \theta}_z ) } & { \cos ( \mathbf{- \theta}_z ) } & 0  \\
   0 & 0 & 1  \\
\end{bmatrix}\left( {\begin{bmatrix}
   \mathbf{a}_x  \\
   \mathbf{a}_y  \\
   \mathbf{a}_z  \\
\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}
   \mathbf{c}_x  \\
   \mathbf{c}_y  \\
   \mathbf{c}_z  \\
\end{bmatrix}} \right)
</math><ref>[http://inside.mines.edu/~gmurray/ArbitraryAxisRotation/ArbitraryAxisRotation.html Rotation About an Arbitrary Axis in 3 Dimensions] {{Wayback|url=http://inside.mines.edu/~gmurray/ArbitraryAxisRotation/ArbitraryAxisRotation.html |date=20140413201510 }} Glenn Murray 2013-6-6 [2014-4-23]</ref>

或者使用以下这种非矩阵表示的形式，其中角度的正负号与矩阵表示形式不同：
:<math>
\begin{array}{lcl}
	d_x &= &\cos \theta_y\cdot(\sin \theta_z\cdot(a_y-c_y)+\cos \theta_z\cdot(a_x-c_x))-\sin \theta_y\cdot(a_z-c_z) \\
	d_y &= &\sin \theta_x\cdot(\cos \theta_y\cdot(a_z-c_z)+\sin \theta_y\cdot(\sin \theta_z\cdot(a_y-c_y)+\cos \theta_z\cdot(a_x-c_x)))+\cos \theta_x\cdot(\cos \theta_z\cdot(a_y-c_y)-\sin \theta_z\cdot(a_x-c_x)) \\
	d_z &= &\cos \theta_x\cdot(\cos \theta_y\cdot(a_z-c_z)+\sin \theta_y\cdot(\sin \theta_z\cdot(a_y-c_y)+\cos \theta_z\cdot(a_x-c_x)))-\sin \theta_x\cdot(\cos \theta_z\cdot(a_y-c_y)-\sin \theta_z\cdot(a_x-c_x)) \\
\end{array}
</math>
然后将变换后的该点通过以下方程投影到二维平面（此处投影平面为''x/y''平面，有时也使用''x/z''）:<ref>
{{Citation
  | last1 = Sonka | first1 = M
  | last2 = Hlavac | first2 = V
  | last3 = Boyle | first3 = R
  | title = Image Processing, Analysis & Machine Vision 2nd Edn.
  | publisher = Chapman and Hall
  | year = 1995
  | pages = 14
  | isbn = 0412455706 }}
</ref>
:<math>
\begin{array}{lcl}
 \mathbf{b}_x &= &(\mathbf{d}_x - \mathbf{e}_x) (\mathbf{e}_z / \mathbf{d}_z) \\
 \mathbf{b}_y &= &(\mathbf{d}_y - \mathbf{e}_y) (\mathbf{e}_z / \mathbf{d}_z) \\
\end{array}
</math>

或在[[齐次坐标系]]下可以表示为：
:<math>
\begin{bmatrix}
   \mathbf{f}_x \\
   \mathbf{f}_y \\
   \mathbf{f}_z \\
   \mathbf{f}_w \\
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
   1 & 0 & 0 & -\mathbf{e}_x \\
   0 & 1 & 0 & -\mathbf{e}_y \\
   0 & 0 & 1 & 0 \\
   0 & 0 & 1/\mathbf{e}_z & 0 \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
   \mathbf{d}_x  \\
   \mathbf{d}_y  \\
   \mathbf{d}_z  \\
   1 \\
\end{bmatrix} 
</math>
和
:<math>
\begin{array}{lcl}
 \mathbf{b}_x &= &\mathbf{f}_x / \mathbf{f}_w \\
 \mathbf{b}_y &= &\mathbf{f}_y / \mathbf{f}_w \\
\end{array}
</math>

观测者到显示平面的距离，<math>\mathbf{e}_z</math>，直接关系到视野的大小。<math>\alpha=2 \cdot \tan^{-1}(1/\mathbf{e}_z)</math>为可视角度。（这里假设屏幕的两角为(-1,-1)和(1,1)）

如果要在一些特定的显示设备上显示该二维平面，之后还要进行一些必要的剪裁和缩放操作。

==图示==
[[Image:Projective_Transform.svg]]

计算三维空间中位于Ax，Az的点在屏幕坐标x轴的位置：

<math>screen\ x\ coordinate\ (Bx)\ =\ model\ x\ coordinate\ (Ax) \times \frac{distance\ from\ eye\ to\ screen\ (Bz)}{distance\ from\ eye\ to\ point\ (Az)}</math>

对于y轴同样有:

<math>screen\ y\ coordinate\ (By)\ =\ model\ y\ coordinate\ (Ay) \times \frac{distance\ from\ eye\ to\ screen\ (Bz)}{distance\ from\ eye\ to\ point\ (Az)}</math>

(其中Ax和Ay是透视转换前物体在空间中的坐标)

==参看==
*[[计算机图形学]]
**[[三维计算机图形]]
*[[透视]]
*[[单应性]]
*三维投影的数学理论：[[投影]]

== 参考文献 ==
{{reflist}}

== 延伸阅读 ==
{{Commonscat|3D projection}}
*{{Citebook|title=3D Game Programming All in One|author=Kenneth C. Finney|year=2004|publisher=Thomson Course|id=ISBN 159200136X|pages=93|url=http://books.google.com/books?id=cknGqaHwPFkC&pg=PA93&dq=%223D+projection%22&ie=ISO-8859-1&output=html&sig=1ClwdV95eKLGbEgkcxb1PW1YjUk|access-date=2009-12-23|archive-date=2012-11-12|archive-url=https://web.archive.org/web/20121112125615/http://books.google.com/books?id=cknGqaHwPFkC&pg=PA93&dq=%223D+projection%22&ie=ISO-8859-1&output=html&sig=1ClwdV95eKLGbEgkcxb1PW1YjUk|dead-url=no}}

{{计算机图形学}}

{{DEFAULTSORT:投影}}

[[Category:线性代数]]
[[Category:立体几何]]
[[Category:射影几何]]
[[Category:三维计算机图形学]]
[[Category:三维成像]]
[[Category:投影圖]]
[[Category:函数]]