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{{尺规作图三大难题}}
[[File:Neusis-trisection.svg|thumb|right|280px|三等分角无法按照尺规作图的规定作出，但如果借助另外的工具或放宽尺规作图的限制，三等分角是可行的]]

'''三等分角'''是[[古希臘]][[平面几何]]里[[尺規作圖]]领域中的著名问题，與[[化圓為方]]及[[倍立方]]問題並列為尺规作图三大難題。尺规作图是古希腊人的数学研究课题之一，是对具体的[[直尺]]和[[圆规]]画图可能性的抽象化，研究是否能用规定的作图法在有限步内达到给定的目标。三等分角问题的内容是：“能否仅用尺规作图法将任意角度三等分？”

三等分角问题提出后，在漫长的两千余年中，曾有众多的尝试，但没有人能够给出严格的答案<ref name="clj">{{cite web|author=曹亮吉|title=《三等分任意角可能吗？》|url=http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_09_04_1/index.html|work=原載於科學月刊第九卷第四期|publisher=http://episte.math.ntu.edu.tw|accessdate=2013-05-28|archive-date=2014-06-23|archive-url=https://web.archive.org/web/20140623211803/http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_09_04_1/index.html|dead-url=no}}</ref> 。随着十九世纪群论和域论的发展，法国数学家{{link-en|皮埃尔·汪策尔|Pierre Wantzel}}首先利用[[伽罗瓦理论]]证明，這個問題的答案是否定的：不存在仅用尺规作图法将任意角度三等分的通法。具体来说，汪策尔研究了给定单位长度後，能够用尺规作图法所能达到的长度值。所有能够经由尺规作图达到的长度值被称为[[规矩数]]，而汪策尔证明了，如果能够三等分任意角度，那么就能做出不属于规矩数的长度，从而[[反证法|反证]]出通过尺规三等分任意角是不可能的。

如果不将手段局限在尺规作图法中，放宽限制或借助更多的工具的话，三等分任意角是可能的。然而，作为数学问题本身，由于三等分角问题表述简单，而证明困难，并用到了高等的数学方法，在已被證明不可能实现后，仍然有许多人尝试给出肯定的证明。<ref name="clj"/>

== 背景简介 ==
===尺规作图法===
{{main|尺规作图}}
在叙述三等分问题前，首先需要介绍[[尺规作图]]的意思。尺规作图问题是从现实中具体的“直尺和圆规画图可能性”问题抽象出来的数学问题，将现实中的直尺和圆规抽象为数学上的设定，研究的是能不能在若干个具体限制之下，在有限的步骤内作出给定的图形、结构或其他目标的问题。在尺规作图中，直尺和圆规的定义是<ref name="clj"/>：
:直尺：一侧为无穷长的直线，没有刻度也无法标识刻度的工具。只可以让笔摹下这个直线的全部或一部分。
:圆规：由两端点构成的工具。可以在保持两个端点之间的距离不变的情况下，固定其中一个端点，让另一个端点移动，作出圆弧或圆。两个端点之间的距离只能取已经作出的两点之间的距离，或者任意一个未知的距离。
定义了直尺和圆规的特性後，所有的作图步骤都可以归化为五种基本的步骤，称为作图公法<ref name="clj"/>：
* 通過兩個已知點，作一直線。
* 已知圓心和半徑，作一個圓。
* 若兩已知直線相交，确定其交點。
* 若已知直線和一已知圓相交，确定其交點。
* 若兩已知圓相交，确定其交點。
尺规作图研究的，就是是否能够通过以上五种步骤的有限次重复，达到给定的作图目标。尺规作图问题常见的形式是：“给定某某条件，能否用尺规作出某某对象？”比如：“给定一个圆，能否用尺规作出这个圆的圆心？”等等。<ref name="clj"/>

===问题叙述===
三等分角问题的完整叙述是{{r|kmc}}：
{{cquote|任意给定一个角，是否能够通过以上说明的五种基本步骤，于有限次内作出另一个角，等于这个角的三分之一？}}
关于这个叙述中的用词和术语，需要一一作出定义。“角”可以有两种等价的定义：一个角可以是由一点和从它出发的两条射线构成的集合，也可以是由三点和连接它们的两条线段构成的集合。以下的叙述中采取第二个定义，用三个大写英文字母或一个希腊字母表示一个角。角{{math|AOB}}指的是由三点{{math|A, O, B}}以及线段{{math|AO}}和{{math|OB}}构成的集合，也可以直接用一个希腊字母如{{math|''α''}}表示。两个角{{math|AOB}}和{{math|A'O'B'}}相等，指的是以下条件：如果将线段{{math|OA}}沿点{{math|A}}延长为射线，在上面作一点{{math|C}}使得{{math|OC}} <math>=</math> {{math|O'A'}}，同时将线段{{math|OB}}沿点{{math|B}}延长为射线，在上面作一点{{math|D}}使得{{math|OD}} <math>=</math> {{math|O'B'}}，则{{math|CD}} <math>=</math> {{math|A'B'}}。

一个角{{math|''α''}}等于另一个角{{math|''β''}}的三分之一，指的是角{{math|''β''}}等于角{{math|''α''}}的三倍。而一个角{{math|AOB}}等于角{{math|AOC}}的{{math|''k''}}倍（{{math|''k'' > 1}}为自然数），指的是可以找到点{{math|B<sub>1</sub>, B<sub>2</sub>, ... , B<sub>''k''</sub>}}等，使得{{math|''k''}}个角{{math|AOB<sub>1</sub>, B<sub>1</sub>OB<sub>2</sub>, ... , B<sub>''k''-1</sub>OB<sub>''k''</sub>}}都等于{{math|AOC}}，并且点{{math|B<sub>''k''</sub>}}就是点{{math|B}}。

===二等分角问题===
[[File:Bisection construction.gif|thumb|right|250px|尺规二等分任意角度的过程]]
与三等分角问题相比，用尺规作图将任意角二等分要容易得多。右图具体说明了二等分一个角的步骤。依照类似的步骤，也能够将任意角四等分、八等分……但直到十九世纪，随着群论和伽罗瓦理论的出现，数学家们才认识到二等分角和三等分角本质上的不同。在现代数学语言中，更常用域扩张的理论来论述三等分角的问题。从证明三等分角的过程中可以知道，尺规作图的方法不但不能三等分任意角，也不能将任意角五等分、七等分、九等分、十一等分。其理由涉及到直线和圆的解析性质。

== 不可能性的證明 ==
{{main|規矩數}}
1837年，法國數學家汪策爾證明了，三等分角問題是沒有辦法完成的{{r|ud|page1=15}}。

三等分角問題提出後，有許多基於平面幾何的論證和嘗試，但在十九世紀以前，一直沒有完整的解答。沒有人能夠給出將任意角度三等分的確實做法，但開始懷疑其可能性的人之中，也沒有人能夠證明這樣的做法一定不存在。直到十九世紀後，[[伽羅瓦]]和[[阿貝爾]](全名:[[尼爾斯·阿貝爾]])開創了以群論來討論有理係數多項式方程之解的方法，人們才認識到三等分角問題的本質。
===尺规可作性和规矩数===
在研究各种尺规作图问题的时候，数学家们留意到，能否用尺规作出特定的图形或目标，本质是能否作出符合的长度。引进直角坐标系和[[解析几何]]以后，又可以将长度解释为坐标。比如说，作出一个圆，实际上是作出圆心的位置（坐标）和半径的长度。作出特定的某个交点或某条直线，实际上是找出它们的坐标、斜率和截距。为此，数学家引入了尺规可作性这一概念。假设平面上有两个已知的点{{math|O}}和{{math|A}}，以{{math|OA}}为单位长度，射线{{math|OA}}为{{math|x}}-轴正向可以为平面建立一个标准[[直角坐标系]]，平面中的点可以用横坐标和纵坐标表示，整个平面可以等价于<math>\mathbb{R}^2</math>。

设{{math|E}}是<math>\mathbb{R}^2</math>的一个[[空集|非空]][[子集]]。如果某直线<math>\mathcal{l}</math>经过{{math|E}}中不同的两点，就说<math>\mathcal{l}</math>是{{math|E}}-尺规可作的，简称{{math|E}}-可作。同样地，如果某个圆<math>\mathcal{C}</math>的圆心和圆上的某个点是{{math|E}}中的元素，就说<math>\mathcal{C}</math>是{{math|E}}-可作的。进一步地说，如果<math>\mathbb{R}^2</math>里的某个点{{math|P}}是某两个{{math|E}}-可作的直线或圆的交点（直线－直线、直线－圆以及圆－圆），就说点{{math|P}}是{{math|E}}-可作的。这样的定义是基于五个基本步骤得来的，包括了尺规作图中从已知条件得到新元素的五种基本方法。如果将所有{{math|E}}-尺规可作的点的集合记作{{math|s(E)}}，那么当{{math|E}}中包含超过两个点的时候，{{math|E}}肯定是{{math|s(E)}}的真子集。从某个点集{{math|E<sub>0</sub>}}开始，经过一步能作出的点构成集合{{math|E<sub>1</sub>}} <math>=</math> {{math|s(E)}}，经过两步能作出的点就是{{math|E<sub>2</sub>}} <math>=</math> {{math|s(E<sub>1</sub>)}}，……以此类推，经过{{math|n}}步能作出的点集就是{{math|E<sub>n</sub>}} <math>=</math> {{math|s(E<sub>n-1</sub>)}}。而所有从{{math|E}}能尺规作出的点集就是：
:<math>C(\mathrm{E}_0) = \bigcup_{n\in\mathbb{N}} \mathrm{E}_n</math>。{{r|Warner|page1=521}}

另一个与尺规可作性相关的概念是规矩数。设{{math|H}}是从集合{{math|E<sub>0</sub>}} <math>=</math> {(0,0), (0,1)}开始，尺规可作点的集合：{{math|H}} <math>=</math> {{math|''C''(E<sub>0</sub>)}}，那么规矩数定义为{{math|H}}中的点的横坐标和纵坐标表示的数。
:定义：[[实数]]{{math|a}}和{{math|b}}是规矩数[[当且仅当]]{{math|(a, b)}}是{{math|H}}中的一个点。{{r|Warner|page1=522}}

可以证明，[[有理数]]集<math>\mathbb{Q}</math>是所有规矩数构成的集合{{math|K}}的子集，而{{math|K}}又是实数集<math>\mathbb{R}</math>的子集。另外，为了在复数集<math>\mathbb{C}</math>内讨论问题，也会将平面<math>\mathbb{R}^2</math>看作复平面<math>\mathbb{C}</math>，同时定义一个复数{{math|a+bi}}是（复）规矩数当且仅当点{{math|(a, b)}}是{{math|H}}中的一个点。所有复规矩数构成的集合{{math|L}}也包含<math>\mathbb{Q}</math>作为子集，并且是复数集<math>\mathbb{C}</math>的子集。从尺规可作性到解析几何下的规矩数，三等分角问题从几何问题转成了代数的问题。{{r|Warner|page1=522}}

===域的扩张与最小多项式===
{{main|域扩张|最小多项式}}
以集合的观念来说，{{math|L}}与<math>\mathbb{Q}</math>、<math>\mathbb{C}</math>之间是子集与包含的关系。以抽象代数的观点来说，可以证明{{math|L}}是有理数域<math>\mathbb{Q}</math>的扩域，是实数域<math>\mathbb{C}</math>的子域。记作<math>\mathbb{Q} \subseteq \mathrm{L} \subseteq \mathbb{C}</math>。[[体 (数学)|域]]是抽象代数中的概念，是能够进行“加减乘除”运算的集合。从单位长度出发，很容易得到任何有理数长度的线段，所以直线{{math|OA}}（也就是实数轴）上所有的有理数坐标的点都是尺规可作点<ref name="clj"/>。如果平面上还有另一个尺规可作点（对应复数{{math|z}}），那么也能做出任意{{math|pz+q}}的点，甚至于任何形如：
::<math>\frac{P_1(z)}{P_2(z)}</math>
的点（其中{{math|P<sub>1</sub>}}和{{math|P<sub>2</sub>}}是两个多项式）。有理数域<math>\mathbb{Q}</math>和所有因为{{math|z}}而多出来的尺规可作点仍旧构成一个域，称为<math>\mathbb{Q}</math>关于{{math|z}}的扩张，记作<math>\mathbb{Q}(z)</math>。然而，<math>\mathbb{Q}(z)</math>中的元素并没有表面上那么“多”。一般来说，如果有一个多项式{{math|P}}使得{{math|P(z)}}=0，那么<math>\mathbb{Q}(z)</math>中的元素都可以写成{{math|λ<sub>1</sub>+λ<sub>2</sub>z+...+λ<sub>d</sub>z<sup>d-1</sup>}}的形式，其中{{math|d}}是{{math|P}}的阶数。这样的情况称为域<math>\mathbb{Q}</math>的[[有限扩张]]，因为<math>\mathbb{Q}(z)</math>可以看成关于<math>\mathbb{Q}</math>的有限维[[线性空间]]。为了确定这个线性空间的维数，需要为它找一个[[基底]]，也就是一个[[线性相关|线性无关]]的最小[[线性生成空间|生成集]]。为此，寻找使得{{math|m(z)}} <math>=</math> 0的多项式中阶数最小的，并称{{math|m}}是{{math|z}}[[最小多项式]]。在最小多项式确定后，便可确定{{math|1,  z, ... , z<sup>d<sub>m</sub>-1</sup>}}是<math>\mathbb{Q}(z)</math>的一个基底，<math>\mathbb{Q}(z)</math>是一个{{math|d<sub>m</sub>}}维的<math>\mathbb{Q}</math>-线性空间（{{math|d<sub>m</sub>}}是{{math|m}}的阶数）{{r|Stewart|page1=68}}。这时候也称{{math|d<sub>m</sub>}}是域扩张<math>\mathbb{Q} \subseteq \mathbb{Q}(z)</math>的阶数，记作：
:<math>[ \mathbb{Q}(z) : \mathbb{Q} ] = \mathrm{d}_m </math>{{r|Warner|page1=512}}

===规矩扩张的阶数===
对任何一个尺规可作点，都可以考察它对应的域扩张的阶数。由于每个尺规可作点都是通过五种作图公法的有限次累加得到的，而其中生成新点（也就是新坐标）的只有後三种。所以只需考察这三种步骤得到的新点对应的域扩张的阶数。假设某个时刻，已知的所有尺规可作点构成的域是{{math|L}}，那么生成新点时的直线和圆的系数都在{{math|L}}里面。
:直线的方程是：<math>ax + by + c = 0, \quad a, b, c \in \mathrm{L},  \qquad \qquad \cdots \; \; (1)</math>
:圆的方程是：<math>(x -c_1)^2 + (y - c_2)^2  = r^2, \quad c_1, c_2, r \in \mathrm{L}.\qquad \qquad \cdots \; \; (2)</math>
无论是两个(1)类方程，两个(2)类方程，还是一个(1)类和一个(2)类方程联立求解，得到的{{math|x}}和{{math|y}}值都会是形同
:<math>
\begin{cases}
x = p_1 + q_1\sqrt{t} & p_1 , \;  q_1 ,  \; t \; \in \mathrm{L}\\
y = p_2 + q_2\sqrt{t} & p_2 , \; q_2 \; \in \mathrm{L}
\end{cases}
</math>
的数值。所以复规矩数{{math|''z''}} <math>=</math> {{math|''x''+''yi''}}满足一个二次方程：
:<math>(z - (p_1 + p_2 i))^2 = t(q_1 + q_2 i)^2</math>
其中的{{math|''p''<sub>1</sub>+''p''<sub>2</sub>''i''}}、{{math|''q''<sub>1</sub>+''q''<sub>2</sub>''i''}}以及{{math|''t''}}都是{{math|L}}中的元素{{r|Warner|Stewart|page1=523|page2=78-79}}。这意味着，域扩张{{math|L⊆L(z)}}的阶数最多是2（最小多项式的阶数至多是2）<ref name="clj"/>。这又说明，从{{math|L}}开始，经过一系列（{{math|''n''}}次）基本步骤得到的尺规可作点，代表了{{math|''n''}}次域扩张：
:<math>\mathrm{L} \subseteq \mathrm{L}_1 \subseteq \cdots \subseteq \mathrm{L}_n</math>。
而每次域扩张的阶数：{{math|[L<sub>k</sub> : L<sub>k-1</sub>]}}都不超过2。因此，如果从基本的有理数域出发的话，就能得到如下的定理：{{r|Warner|page1=523-524}}<ref name="clj"/>
{{Squote|w=65%|
<center>任何复规矩数{{math|''z''}}对应的域扩张<math>\mathbb{Q} \subseteq \mathbb{Q}(z)</math>的阶数<math>[ \mathbb{Q}(z) : \mathbb{Q} ]</math>都是2的某个幂次：</center><br>
<center><math>[ \mathbb{Q}(z) : \mathbb{Q} ] = 2^s</math></center>
}}
其中的{{math|''s''}}是某个小于{{math|''n''}}的自然数（{{math|''n''}}是已知所有有理数坐标点时，作出{{math|''z''}}对应的点要经过的基本步骤数目）。

===三等分角的反证===
上文已经说明，任何可以用尺規作圖作出的点，其座標对应一个复規矩數，它的[[最小多項式]]次數為<math>2^{s}</math>。以下用反证法证明三等分任意角是不可能的。反設可以用尺規作圖將任意角三等分，代表對任意角度是<math>\theta</math>的角，均可以由尺規作圖得到 角度为<math>\frac{\theta}{3}</math>的角。这等价于说在已知单位长度和<math>\cos{\theta}</math>的时候能做出<math>\cos{\frac{\theta}{3}}</math>的长度。设{{math|L}}是包含了<math>\cos{\theta}</math>和单位长度1的域。用尺规作图可以得到<math>z = \cos{\frac{\theta}{3}}</math>，说明域扩张的阶数是2的幂次：
:<math>[ \mathrm{L}(z) : \mathrm{L} ] = 2^s</math>
然而根據三倍角公式：
:<math>\cos \theta = 4 \cos^3 {\frac{\theta}{3}} -3 \cos {\frac{\theta}{3}} = 4z^3 - 3z</math>。
运用多项式的知识可以证明，<math>z</math>在{{math|L}}中的最小多项式的阶数必定不大于3，也就是说是1，2或者3{{r|Warner|page1=512}}。比如说当角度<math>\theta = 60^\circ</math>时，{{math|L}}就是<math>\mathbb{Q}</math>（<math>\cos{\theta}=\frac12 \in \mathbb{Q}</math>）三倍角公式变成：
:<math>4 z^3 - 3 z = \cos{60^\circ} = \frac{1}{2}</math>，即是：
:<math>8 z^3 - 6 z - 1 = 0</math>
这个多项式不可约，所以这个方程的解不属于有理数集<math>\mathbb{Q}</math>，所以可以证明<math>[\mathbb{Q}(z) : \mathbb{Q}] = 3</math>。<ref name="clj"/>然而3不是2的幂次，这和之前的结论矛盾。如此便说明，無法用尺規作圖將任意角三等分{{r|Warner|page1=525-526}}。<math>\Box</math>

==能够尺规三等分的角度==
以上的证明通过一个反例：<math>\theta = 60^\circ</math>说明了用尺规作图将任意角三等分是不可能的。但用尺规作图三等分某些特定的角（比如说[[直角]]）仍然是可行的<ref name="clj"/>。事实上，从证明中可以看出，尺规三等分某个角<math>\theta</math>等价于说<math>[ \mathrm{L}(\cos{\frac{\theta}{3}}) : \mathrm{L} ] = 1</math>{{r|Stewart|page1=58}}。要注意的是，这个条件与<math>\cos{\theta}</math>本身能否用尺规作图作出并不相关。实际上，有的角度<math>\theta</math>即便本身无法用尺规作图法作出，但如果已知角<math>\theta</math>作为条件，是能够用尺规作图将它三等分的。角度<math>3\pi/7</math>就是这样一个例子。它本身无法用尺规作出，但如果给定一个<math>3\pi/7</math>的角，它的五倍角就是<math>15\pi/7</math>，等于将圆周绕过一圈後的<math>\pi/7</math>，这正是<math>3\pi/7</math>的三分之一。可以证明，角度<math>2\pi/N</math>可以用尺规三等分，当且仅当自然数{{math|N}}本身无法被三整除。

从证明中还可看出，只要自然数{{math|k}}只含有2以外的[[质数|质]][[整数分解|因子]]，根据{{math|k}}倍角公式得到的{{math|k}}阶多项式就说明<math>\cos{\frac{\theta}{k}}</math>的最小多项式阶数整除{{math|k}}，所以不是2的幂次，从而无法用尺规作图{{math|k}}等分任意角。例如用尺规作图五等分任意角、七等分任意角等等都是不可能的（<math>2\pi/N</math>可以五等分，當且僅當{{math|N}}不是5的倍數；而不管{{math|N}}是多少，<math>2\pi/N</math>都不能七等分，因為[[正七邊形]]本身就不能尺規作圖了）。

== 三等分角的方法 ==
用尺规作图的方法三等分角被证明是不可行的。如果放宽尺规作图的限制，或允许使用另外的工具，那么三等分任意角仍旧是可能的。
===无限次步骤===
尺规作图要求在有限次步骤内将任意角三等分。如果我们允许使用无限次的步骤来构造三等分角的话，可以利用
:<math>\frac13 = \frac14 + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{4^3} + \cdots </math>
这个[[无穷级数]]的和来实现。给定任意一的角度为<math>\theta</math>的角。已知尺规二等分角是可行的，所以重复两次就能够四等分一个角<math>\theta</math>，得到<math>\frac{\theta}{4}</math>。同样地，可以作出<math>\frac{\theta}{4^2}</math>、<math>\frac{\theta}{4^3}</math>等所有形同<math>\frac{\theta}{4^n}</math>的角。将它们逐次相加，就能够在无限次（[[可列集|可数次]]）操作後用尺规作图得到
:<math>\frac{\theta}{4} + \frac{\theta}{4^2} +\frac{\theta}{4^3} + \cdots = \frac{\theta}{3}</math>。<ref name="clj"/>
===二刻尺===
[[Image:Three facts for trisecting angles.svg|right|355px|]]
[[File:Trisecting angles three.svg|right|500px|把角{{math|''a''}}三等分]]

如果允许使用有刻度的直尺（[[二刻尺]]），则三等分任意角是可行的。右图为把角{{math|''a''}}三等分的示意图。这个想法最早由[[阿基米德]]提出{{r|ud|page1=4}}。

首先，在直尺上有两个刻度，相距{{math|''AB''}}。把角上的直线延长，并作一个[[半径]]为{{math|''AB''}}的圆。 

把直尺的一点固定在{{math|''A''}}，并将直尺绕着点{{math|''A''}}移动，直到其中一个刻度位于点{{math|''C''}}，另一个刻度位于点{{math|''D''}}，也就是说，{{math|''CD''}} <math>=</math> {{math|''AB''}}。这时，角{{math|''b''}}就是角{{math|''a''}}的三分之一。

要證明<math> a = 3b </math>，我們需要利用'''直線上的鄰角'''(adjacent angles on straight line)，'''三角形的內角和'''(angle sum of triangle)及'''等腰三角形底角'''(base angle, isosceles triangle)。

证明：
# <math> e + c = 180^\circ</math>。
# <math> e + 2b = 180^\circ</math>。
# 两式相减，得<math> c = 2b</math>。
# <math> d + 2c = 180^\circ</math>，因此<math> d = 180^\circ - 2c </math>，把上式代入，得<math> d = 180^\circ - 4b</math>。
# <math> a + d + b = 180^\circ</math>，因此<math> a + (180^\circ - 4b) + b = 180^\circ</math>。
所以，<math> a - 3b = 0 </math>，或<math> a = 3b </math>。证毕。<ref name="clj"/>{{r|ud|page1=4-5}}

或者，可以利用'''三角形的外角'''(Exterior Angle of a Triangle)作證明。

<math>b + b = c</math>

<math>b + c = a</math>

<math>\Rightarrow{ b} + 2b = a</math>

<math>\Rightarrow {a} = 3b</math>

同樣也可證明。

===借助其他形状或工具===
尺规作图的规定来自于古希腊的[[柏拉图学派]]，他们认为仅有直线和圆是完美的形状。事实上，如果允许在作图中使用其他的曲线或形状，那么三等分任意角是可行的。例如：已知角{{math|AOB}}，做其角平分线{{math|OC}}。以直线{{math|OC}}为准线，点{{math|A}}为焦点，作一[[双曲线]]；同时以{{math|O}}为圆心，{{math|OA}}为半径做圆。设该圆与双曲线在角{{math|AOB}}内侧的交点为{{math|D}}，那么角{{math|AOD}}等于角{{math|AOB}}的三分之一。<ref name="clj"/>此外，[[麦克劳林]]、[[利马松]]等人也曾经设计过可以辅助[[三等分角线|三等分角的曲线]]。[[阿基米德螺线]]（等角螺线）也是能够直观帮助三等分角的曲线。在[[极坐标]]中，阿基米德螺线的方程是：
:<math>\rho = c \theta</math>
其中的<math>\rho</math>是极径（离原点的距离），<math>\theta</math>是幅角。由于极径和幅角成正比，所以要寻找等于给定角度三分之一的角度，只需要确定原角度对应的极径长度<math>\rho_0</math>，然后对比找出<math>\frac{\rho_0}{3}</math>对应的角度即可。{{r|ud|page1=8}}

==相關條目==
*[[莫雷角三分線定理]]
*[[規矩數]]
*[[三等分角線]]

== 参考来源 ==
{{reflist
|refs=
<ref name="Warner">{{cite book|author=Warner|title=''Modern algebra''|url=https://archive.org/details/modernalgebra0000warn_r8y1|year=1990|publisher=Courier Dover Publications|language=en|isbn=9780486663418}}</ref> 
<ref name="Stewart">{{cite book | last = Stewart | first = Ian  | authorlink = 艾恩·史都華 | title = ''Galois Theory'' | publisher = Chapman and Hall Mathematics | year = 1989|language=en| isbn = 0-412-34550-1 }}</ref>
<ref name="ud">{{cite book|author=Underwood Dudley|title=''The trisectors''|url=https://archive.org/details/trisectors0000dudl|year=1994|publisher=Cambridge University Press|language=en|isbn=9780883855140}}</ref> 
<ref name="kmc">{{cite web|author=康明昌|title=《古希臘幾何三大問題 》|url=http://episte.math.ntu.edu.tw|work=原載於數學傳播第八卷第二期、第八卷第三期分兩期刊出|publisher=http://episte.math.ntu.edu.tw|accessdate=2013-05-29|archive-date=2004-04-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20040406190055/http://episte.math.ntu.edu.tw/|dead-url=no}}</ref>
}}

== 外部链接 ==
* [http://math.ntnu.edu.tw/~horng/letter/vol6no6b.htm HPM 通訊第6卷第6期，3大作圖題]{{Wayback|url=http://math.ntnu.edu.tw/~horng/letter/vol6no6b.htm |date=20071103065334 }} 介紹在較寬鬆的條件下（允許使用有刻度的直尺或配合其他曲線）用尺規作圖，來求解三等分角問題。
* [http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_09_04_1/index.html 三等分任意角可能嗎？]{{Wayback|url=http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_09_04_1/index.html |date=20140623211803 }}

[[Category:平面几何]]
[[Category:角]]
[[Category:数学问题]]

{{古希臘數學}}