查看“︁三乘积法则”︁的源代码

{{微積分學|expanded=多元微积分}}

'''三乘积法则'''（'''triple product rule'''）是关于[[偏导数]]的一个恒等关系式，其表达式为：
:<math>\left(\frac{\partial x}{\partial y}\right)_z\left(\frac{\partial y}{\partial z}\right)_x\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_y = -1.</math>
::注释：每一个变量可视作另外两个变量的函数。偏导数的下标表示在此变量为常数的条件下求导。

三乘积法则用于[[热力学]]关系式的推导。例如温度、压力和体积之间的关系满足：
:<math>\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_T\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_p = -1.</math>

利用三乘积法则，可以将不易测量的关系用容易测得的物理量代替，如：
:<math>\left(\frac{\partial x}{\partial y}\right)_z = - \frac{\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)_x}{\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_y}</math>。

==推导==

下面给出一个非正式的推导。设有函数''f''(''x'', ''y'', ''z'') = 0。若将''z''表示为''x''和''y''的函数，则全微分''dz''等于

:<math>dz = \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_y dx + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)_x dy</math>

在''dz'' = 0的轨迹上，''x''和''y''之间满足

:<math>dy = \left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)_z dx</math>

于是将''dz'' = 0带入上式，

:<math>0 = \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_y \, dx + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)_x \left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)_z \, dx</math>

重排得

:<math>\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_y = -\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)_x \left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)_z</math>

将所有偏导数移到等式左边，

:<math>\left(\frac{\partial x}{\partial y}\right)_z\left(\frac{\partial y}{\partial z}\right)_x\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_y = -1</math>

此证明假定了偏导数存在，以及全微分''dz''存在，偏导数不为零从而能取倒数。数学分析的正式证明能避免这些隐含假定。

== 参见 ==
* [[全微分]]
* 变量和标量的[[三重积]]

== 参考资料==
* Elliott, JR, and Lira, CT.  ''Introductory Chemical Engineering Thermodynamics'', 1st Ed., Prentice Hall PTR, 1999.  p. 184.
* Carter, Ashley H. ''Classical and Statistical Thermodynamics'', Prentice Hall, 2001, p. 392.

[[Category:包含证明的条目]]
[[Category:热力学定律]]
[[Category:多变量微积分]]
[[Category:分析定理]]
[[Category:微積分定理]]