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[[代数拓扑]]中，'''万有系数定理'''建立了同调群（或上同调群）与不同系数的关系。例如，对每个[[拓扑空间]]''X''，其整同调群是：

:<math>H_i(X;\ \Z)</math>

对任何[[阿贝尔群]]''A''，都能完全确定其系数在''A''中的同调群：

:<math>H_i(X;\ A)</math>

其中<math>H_i</math>可能是[[单纯同调]]或更一般的[[奇异同调]]。此结果的一般证明是关于[[自由阿贝尔群]][[链复形]]的纯[[同调代数]]，结果的形式是，可以使用其他[[系数]]''A''，代价是使用[[Tor函子]]。

例如，通常取''A''为<math>\Z/2\Z</math>，于是系数是模2。在同调中没有2-[[扭化]]的情形下，这就变得简单明了了。一般来说，这结果表明了''X''的[[贝蒂数]]<math>b_i</math>与''F''[[域]]中的系数的贝蒂数<math>b_{i,\ F}</math>之间的关系。但只有当''F''的[[特征 (代数)|特征]]是[[素数]]''p''、且同调中存在某种''p''-扭化时，才会有所不同。

==同调情形的说明 ==
考虑[[模的张量积]]<math>H_i(X;\ \Z)\otimes A</math>。该定理指出，有一个涉及[[Tor函子]]的[[短正合列]] 

:<math> 0 \to H_i(X; \mathbf{Z})\otimes A \, \overset{\mu}\to \, H_i(X;A) \to \operatorname{Tor}_1(H_{i-1}(X; \mathbf{Z}),A)\to 0.</math>

其中''μ''是双射<math>H_i(X;\ \Z)\times A\to H_i(X;\ A)</math>诱导的映射。即，张量积的同态由直积的双射诱导。此外，这序列会[[分裂引理|分裂]]，虽然不是自然分裂。

若系数环''A''是<math>\Z/p\Z</math>，这就是[[伯克斯坦谱序列]]的一个特例。

==上同调的万有系数定理==
令''G''为主理想域''R''（如<math>\Z</math>或某个域）上的模。

还有一个涉及[[Ext函子]]的'''[[上同调]]的万有系数定理'''，断言有自然的短正合列

:<math> 0 \to \operatorname{Ext}_R^1(H_{i-1}(X; R), G) \to H^i(X; G) \, \overset{h} \to \, \operatorname{Hom}_R(H_i(X; R), G)\to 0.</math>

与同调情形一样，序列会分裂，虽然不是自然分裂。

事实上，假设
:<math>H_i(X;G) = \ker \partial_i \otimes G / \operatorname{im}\partial_{i+1} \otimes G</math>

并定义：

:<math>H^*(X; G) = \ker(\operatorname{Hom}(\partial, G)) / \operatorname{im}(\operatorname{Hom}(\partial, G)).</math>

则上面的''h''就是规范映射：

:<math>h([f])([x]) = f(x).</math>

另一种观点是用[[艾伦伯格–麦克莱恩空间]]表示上同调，当中''h''将''X''到<math>K(G,\ i)</math>的映射的同伦类映射到同调中导出的相应同态。于是，艾伦伯格–麦克莱恩空间弱右[[伴随]]于同调[[函子]]。<ref>{{Harv|Kainen|1971}}</ref>

== 例子：实射影空间的模2上同调==
令<math>X=\mathbb{P}^n(\R)</math>，即[[实射影空间]]。计算''X''的系数在<math>R=\Z/2\Z</math>中的奇异上同调。

已知，整数同调由下式给出：

:<math>H_i(X; \mathbf{Z}) =
\begin{cases}
\mathbf{Z} & i = 0 \text{ or } i = n \text{ odd,}\\
\mathbf{Z}/2\mathbf{Z} & 0<i<n,\ i\ \text{odd,}\\
0 & \text{otherwise.}
\end{cases}</math>

有<math>{\rm Ext}(R,\ R)=R,\ {\rm Ext}(\Z,\ R)=0</math>，于是上述正合列给出

:<math>\forall i = 0, \ldots, n: \qquad \ H^i (X; R) = R.</math>

事实上，总[[上同调环]]结构是

:<math>H^*(X; R) = R [w] / \left \langle w^{n+1} \right \rangle.</math>

==推论==
定理的一个特例是计算整上同调。对有限CW复形''X''，<math>H_i(X;\ \Z)</math>是有限生成的，因此有如下分解：

:<math> H_i(X; \mathbf{Z}) \cong \mathbf{Z}^{\beta_i(X)}\oplus T_{i},</math>

其中<math>\beta_i(X)</math>是''X''的[[贝蒂数]]，<math>T_i</math>是<math>H_i</math>的扭部分。可以检验

:<math> \operatorname{Hom}(H_i(X),\mathbf{Z}) \cong \operatorname{Hom}(\mathbf{Z}^{\beta_i(X)},\mathbf{Z}) \oplus \operatorname{Hom}(T_i, \mathbf{Z}) \cong \mathbf{Z}^{\beta_i(X)},</math>

且

:<math>\operatorname{Ext}(H_i(X),\mathbf{Z}) \cong \operatorname{Ext}(\mathbf{Z}^{\beta_i(X)},\mathbf{Z}) \oplus \operatorname{Ext}(T_i, \mathbf{Z}) \cong T_i.</math>

这给出了整上同调的如下声明：

:<math> H^i(X;\mathbf{Z}) \cong \mathbf{Z}^{\beta_i(X)} \oplus T_{i-1}. </math>

对于有向闭连通''n''维[[流形]]''X''，这一推论与[[庞加莱对偶性]]相结合，得出<math>\beta_i(X)=\beta_{n-i}(X)</math>。

== 万有系数谱序列 ==
对具有[[扭庞加莱对偶性|扭系数]]的（上）同调，有万有系数定理的推广。对于上同调，有

:<math>E^{p,q}_2=Ext_{R}^q(H_p(C_*),G)\Rightarrow H^{p+q}(C_*;G)</math>

其中''R''是[[单位环]]，<math>C_*</math>是''R''上自由模的链复形，''G''是某单位环''S''的任意<math>(R,S)</math>-双模，<math>\rm Ext</math>是[[Ext函子|Ext群]]。微分<math>{\rm d}^r</math>的度为<math>(1-r,\ r)</math>。

同调也类似

:<math>E_{p,q}^2={\rm Tor}^{R}_q(H_p(C_*),G)\Rightarrow H_*(C_*;G)</math>

其中<math>\rm Tor</math>是[[Tor函子|Tor群]]，微分<math>{\rm d}_r</math>的度为<math>(r-1,\ -r)</math>。

== 注释 ==
{{reflist}}

==参考文献==
*[[Allen Hatcher]], ''Algebraic Topology'', Cambridge University Press, Cambridge, 2002. {{ISBN|0-521-79540-0}}. A modern, geometrically flavored introduction to algebraic topology. The book is available free in PDF and PostScript formats on the [http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html author's homepage] {{Wayback|url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html |date=20120206155217 }}.
* {{cite journal
  | last = Kainen
  | first = P. C.
  | authorlink = Paul Chester Kainen
  | title = Weak Adjoint Functors
  | journal = Mathematische Zeitschrift 
  | volume = 122
  | issue = 
  | pages = 1–9
  | year = 1971
  | pmid =   
  | pmc = 
  | doi = 10.1007/bf01113560
  | s2cid = 122894881
 }}
*[[Jerome Levine]]. “Knot Modules. I.” Transactions of the American Mathematical Society 229 (1977): 1–50. https://doi.org/10.2307/1998498

== 外部链接 ==
*[https://math.stackexchange.com/q/768481 Universal coefficient theorem with ring coefficients]

[[Category:同调代数]]