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'''一阶偏微分方程'''是只和未知數的一階導數有關的[[偏微分方程]]，其型式如下

:<math> F(x_1,\ldots,x_n,u,u_{x_1},\ldots u_{x_n}) =0. \,</math>

以下的應用會用到一阶偏微分方程：建構[[双曲型偏微分方程]]的特徵曲面、[[变分法]]、一些幾何問題，以及一些解有用到[[特征线法]]的氣體動力學簡單模型。若可以找到一阶偏微分方程的解族，可以透過建立解族的包絡線來找到其他的解。<!--
In a related procedure, general solutions may be obtained by integrating families of ordinary differential equations.-->

==通解及全積分==

一阶偏微分方程的通解是指其中包括待定常數的解。若一阶偏微分方程中的待定常數和自變數一樣多，此解則稱為全積分（complete integral）。以下有n個參數的解族

:<math>u=\phi(x_1,x_2,\dots,x_n,a_1,a_2,\dots,a_n)</math>

若滿足<math>\text{det}|\phi_{x_i a_j}|\neq 0</math>的條件，即為全積分<ref>P.R. Garabedian, "Partial differential equations" , Wiley (1964)</ref>。

==波方程的特徵曲面==

[[波方程]]本身是二階偏微分方程，而其特徵曲面為滿足以下方程的等值曲面
:<math> u_t^2 = c^2 \left(u_x^2 +u_y^2 + u_z^2 \right). \,</math>

若令<math>u_t =1</math>，對一般性的影響不大，此時''u''滿足
:<math> u_x^2 + u_y^2 + u_z^2= \frac{1}{c^2}. \,</math>

用方量的表示方式，令
:<math> \vec x = (x,y,z) \quad \hbox{and} \quad \vec p = (u_x, u_y, u_z).\,</math>

解族的特徵曲面可以表示為 
:<math> u(\vec x) = \vec p \cdot (\vec x - \vec{x_0}), \,</math>

其中
:<math> | \vec p \,|  = \frac{1}{c}, \quad \text{and} \quad \vec{x_0} \quad \text{is arbitrary}.\,</math>

若''x''和''x''<sub>0</sub>不變，此解的包絡線可以由找到半徑1/''c''圓球上的點，且''u''值為定值的點來求得。若<math> \vec p</math>平行<math>\vec x - \vec{x_0}</math>，此條件會成立。因此，包絡線為
:<math> u(\vec x) = \pm \frac{1}{c} | \vec x -\vec{x_0} \,|.</math>

這個解對應一個半徑會以速度''c''膨脹或是收縮的圓球。這也是在時空下的光錐。

此方程的初值問題會包括給定''t''=0 時，''u''=0 的等值曲面''S''。這可以由找到所有中心在''S''上，半徑以速度''c''膨脹或是收縮的圓球包絡面來求得。包絡面可以由下式求得
:<math> \frac{1}{c} | \vec x - \vec{x_0}\, | \quad \hbox{is stationary for} \quad \vec{x_0} \in S. \,</math>

若<math> | \vec x - \vec{x_0}\, |</math>和''S''垂直，上式就會成立，因此包絡線對應和''S''垂直，速度為''c''的運動，這也就是Huygens波前建立法：''S''上的每一點在''t''=0時發射一個球狀波，較晚時間''t''的波前就是這些球狀波的包絡線。''S''的法向量即為光線。

==參考資料==
{{Reflist}}

==外部連結==
* [http://www.scottsarra.org/shock/shock.html The Method of Characteristics with applications to Conservation Laws]{{Wayback|url=http://www.scottsarra.org/shock/shock.html |date=20200222133849 }}

== 相關書目 ==
* R. Courant]and D. Hilbert, ''Methods of Mathematical Physics, Vol II'', Wiley (Interscience), New York, 1962.
* L.C. Evans, ''Partial Differential Equations'', American Mathematical Society, Providence, 1998. {{isbn|0-8218-0772-2}}
* A. D. Polyanin, V. F. Zaitsev, and A. Moussiaux, ''Handbook of First Order Partial Differential Equations'', Taylor & Francis, London, 2002. {{isbn|0-415-27267-X}}
* A. D. Polyanin, ''Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists'', Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. {{isbn|1-58488-299-9}}
* Sarra, Scott ''The Method of Characteristics with applications to Conservation Laws'',  Journal of Online Mathematics and its Applications, 2003.

[[Category:偏微分方程]]