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{{further|二次方程#一元二次方程}}
{{NoteTA
|G1 = Math
}}
'''一元二次方程式'''是只含有一个[[未知数|未知數]]，并且未知數的最高[[次数|次數]]是二次的[[多项式|多項式]][[方程]]。

例如，<math>x^2-3x+2= 2</math>，<math>\left (3-2i \right)x^2+\sqrt[\pi]{23-6i}x-\sin 2=0</math>，<math>t^2-3=0</math> 等都是一元二次方程。

一元二次方程式的一般形式是<math>ax^2+bx+c=0 \left(a \ne 0 \right)</math>

其中，<math>ax^2</math>是二次项，<math>bx</math>是一次项，<math>c</math>是常数项。<math>a \ne 0</math>是一个重要条件，否则就不能保证该方程未知数的最高次数是二次。当然，在强调了是一元二次方程之后，<math>a \ne 0</math>也可以省略不写。另外，一元二次方程式有時會出現[[复数 (数学)|複數]]根。

== 历史 ==

古巴比伦留下的陶片显示，在大约公元前2000年（2000 BC）古巴比伦的数学家就能解一元二次方程了。在大約公元前480年，[[中國|中國人]]已经使用配方法求得了二次方程的正根。公元前300年左右，[[欧几里得]]提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。

7世紀印度的[[婆羅摩笈多]]（Brahmagupta）是第一位懂得用使用代數方程式且容許同時有正負根的數學家。

11世紀[[阿拉伯帝国|阿拉伯]]的[[花拉子密]]独立地发展了一套公式以求方程的正数解。[[亚伯拉罕·巴希亚]]（亦以[[拉丁文]]名字[[萨瓦索达]]著称）在他的著作''Liber embadorum''中，首次将完整的一元二次方程解法传入[[欧洲]]。

据说[[施里德哈勒]]是最早给出二次方程的普适解法的数学家之一。但这一点在他的时代存在着争议。这个求解规则是（引自[[婆什迦罗第二]]）：

:'''{{green|在方程的两边同时乘以二次项未知数的系数的四倍；在方程的两边同时加上一次项未知数的系数的平方；然后在方程的两边同时开二次方根。}}'''

将其转化为数学语言：解关于<math>x</math>的方程 <math>ax^2+bx=-c</math>

在方程的两边同时乘以二次项未知数的系数的四倍，即<ref>{{Cite web|title=Sridhara|url=http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Sridhara.html|website=www-gap.dcs.st-and.ac.uk|date=2006-02-08|language=en|archive-url=https://web.archive.org/web/20060208114633/http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Sridhara.html|archive-date=2006-02-08|access-date=2024-07-02}}</ref><math>4a</math>，得　<math>4a^2x^2+4abx=-4ac</math>

在方程的两边同时加上一次项未知数的系数的平方，即<math>b^2</math>，得　<math>4a^2x^2+4abx+b^2=-4ac+b^2</math>

然后在方程的两边同时开二次方根，得　<math>2ax+b=\pm\sqrt[2]{-4ac+b^2}</math>

== 解法 ==
阿贝尔指出，任意一元二次方程都可以根据<math>a</math>、<math>b</math>、<math>c</math>三个系数，通过初等代数运算来求解。求得的解也被称为方程的'''根'''。

一般来说，一元二次方程有两个根。

=== 因式分解法 ===
把一个关于 <math>x</math> 一元二次方程变形成一般形式 <math>ax^2+bx+c=0</math> 后，如果 <math>ax^2+bx+c=0</math> 能够较简便地分解成两个一次[[因式]]的乘积，则一般用[[因式分解]]来解这个一元二次方程。

将方程左边分解成两个一次因式的乘积后（一般可用十字相乘法），分别令每一个因式等于零，可以得到两个[[一元一次方程]]。解这两个一元一次方程，得到的两个解都是原方程的解。

如果一元二次方程<math>ax^2+bx+c=0</math>存在两个实根<math>x_1,x_2</math>，那么它可以因式分解为<math>a(x-x_1)(x-x_2)=0</math>。

例如，解一元二次方程<math>x^2-3x+2=0</math>时，可将原方程左边分解成<math>\left (x-1 \right)\left (x-2 \right)=0</math>，所以<math>x-1=0 \quad x-2=0</math>，可解得<math>x_1=1 \quad x_2=2</math>
=== 公式解法 ===
对于<math>ax^2+bx+c=0\ (a\ne0)</math>，若<math>\Delta=\sqrt{{b^2-4ac\  }}>0</math>，则它的两个不等实数根可以表示为

<math>
x_{1}=\frac{-b + \sqrt {b^2-4ac\  }}{2a},\, x_{2}=\frac{-b - \sqrt {b^2-4ac\  }}{2a}
</math>；

若<math>\Delta=\sqrt{{b^2-4ac\  }}=0</math>，则它的两个相等实数根可以表示为

<math>
x_{1}=x_{2}=\frac{-b}{2a}
</math>；

若<math>\Delta=\sqrt{{b^2-4ac\  }}<0</math>，则它的两个共轭复数根可以表示为

<math>
x_{1}=-\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{-(b^2-4ac)}}{2a}\text{i},\,\, x_{2}=-\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{-(b^2-4ac)}}{2a}\text{i}
</math>。



==== 公式解的证明 ====
[[公式解]]可以由[[配方法]]得出。

已知关于 <math>x</math> 的一元二次方程 <math>ax^2+bx+c=0,\,\, a\ne 0</math>

①移项，得：

<math>ax^2+bx=-c</math>；

②二次项系数化为 <math>1</math>，得：

<math>x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}</math>；

③配方，得：

<math>x^2+\frac{b}{a}x+\biggl(\frac{b}{2a}\biggl)^{2}=-\frac{c}{a}+\biggl(\frac{b}{2a}\biggl)^{2}</math>，

<math>\biggl(x+\frac{b}{2a}\biggl)^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}</math>；

因为 <math>a\ne 0</math>，所以

若<math>\Delta=\sqrt{{b^2-4ac\  }}>0</math>，则它的两个不等实数根可以表示为

<math>
x_{1}=\frac{-b + \sqrt {b^2-4ac\  }}{2a},\, x_{2}=\frac{-b - \sqrt {b^2-4ac\  }}{2a}
</math>；

若<math>\Delta=\sqrt{{b^2-4ac\  }}=0</math>，则它的两个相等实数根可以表示为

<math>
x_{1}=x_{2}=\frac{-b}{2a}
</math>；

若<math>\Delta=\sqrt{{b^2-4ac\  }}<0</math>，则它的两个共轭复数根可以表示为

<math>
x_{1}=-\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{-(b^2-4ac)}}{2a}\text{i},\,\, x_{2}=-\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{-(b^2-4ac)}}{2a}\text{i}
</math>。

==== 一般化 ====
一元二次方程的求根公式在方程的係數为[[有理数]]、[[实数]]、[[複數 (數學)|复数]]或是任意[[数域]]中适用。

公式中的根式<math>\sqrt{b^2-4ac}</math>

應該理解為「如果存在的話，兩個自乘後為<math>b^2 - 4ac </math>的數當中任何一個」。在某些[[数域]]中，有些数值没有[[平方根]]。

==== 根的判别式 ====

对于'''实系数'''一元二次方程<math>ax^2+bx+c=0 \left( a\ne0 \right) </math>，<math>\Delta=b^2-4ac </math>称作一元二次方程根的'''判別式'''。根据判别式，一元二次方程的根有三种可能的情况：

* 如果<math>\Delta>0</math>，则这个一元二次方程有两个不等的[[实数]]根。如果系数都为有理数，且<math>\Delta</math>是一个完全平方数，则这两个根都是[[有理数]]，否则这两个根至少有一个是[[無理數|无理数]]。

* 如果<math>\Delta=0</math>，则這个一元二次方程有两个相等的实数根。这两个等根 <math>x_{1}=x_{2}=-\frac{b}{2a}</math>

* 如果<math>\Delta<0</math>，则这个一元二次方程有两个不等的[[複數 (數學)|复数]]根，两根互为[[共轭复数]]。这时两根分别为<math>
x_{1}=-\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{-(b^2-4ac)}}{2a}\text{i},\,\, x_{2}=-\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{-(b^2-4ac)}}{2a}\text{i}
</math>，其中 <math>\text{i}=\sqrt{-1}</math>。

=== 非实系数一元二次方程 ===
即系数为非实数时的一元二次方程，将系数扩展到复数域内，此时要注意'''根的判别式不适用于非实系数一元二次方程'''。

=== 一元二次方程的根与系数的关系 ===
根据[[韋達定理|韦达定理]]可以找出一元二次方程的根与系数的关系。<math display="block">x_1+x_2=\frac{-b+ \sqrt {b^2-4ac\  }}{2a} + \frac{-b- \sqrt {b^2-4ac\  }}{2a} = \frac{-2b}{2a} = - \frac{b}{a} </math><math display="block">x_1 \cdot x_2 = \frac{-b+ \sqrt {b^2-4ac\  }}{2a} \cdot \frac{-b- \sqrt {b^2-4ac\  }}{2a} = \frac{b^2 - b^2 + 4ac}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}</math>

=== 图像解法 ===
[[File:一元二次方程图像解法1.png|right|thumb|
<math>{\color{Red}{}\Delta>0}</math>，则该函数与x轴相交（有两个交点）<br /><math>{\color{Blue}{}\Delta=0}</math>，则该函数与x轴相切（有且仅有一个交点）<br /><math>{\color{Green}{}\Delta<0}</math>，则该函数与x轴相离（没有交点）]]

一元二次方程<math>ax^2+bx+c=0</math>的根的[[几何]]意义是[[二次函数]]<math>y=ax^2+bx+c</math>的图像（为一条[[抛物线]]）与 <math>x</math> 轴交点的坐标，即二次函数的[[零点]]。

[[File:一元二次方程图像解法2.png|right|thumb|<math>ax^2+bx+c=0</math>的解是<math>y=x^2</math>和<math>y=- \begin{matrix} \frac{b}{a}x \end{matrix} - \begin{matrix} \frac{c}{a} \end{matrix} </math>交點的X座標]]

另外一种解法是把一元二次方程<math>ax^2+bx+c=0</math>化为<math>x^2=-\frac{b}{a}x-\frac{c}{a}</math> 的形式。

则方程<math>ax^2+bx+c=0</math>的根，就是函数<math>y=x^2</math>和<math>y=-\frac{b}{a}x-\frac{c}{a}</math>交点的横坐标。

通过作图，可以得到一元二次方程根的近似值。

=== 计算机法 ===

在使用计算机解一元二次方程时，跟人手工计算相似，大部分情况下也是根据以下公式去解<math display="block">
x=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\  }}{2a}
</math>可以进行符号运算的程序，比如[[Mathematica]]，可以给出准确的解析表达式。而大部分程序则只会给出数值解。(但亦有部分显示平方根及虚数)
{{clear}}

== 参见 ==
* [[方程]]
* [[三次方程]]
* [[和平方]]
* [[差平方]]
* [[平方差]]
* [[配方法]]

== 参考资料 ==
{{reflist|30em}}

== 外部連結 ==
* 101 uses of a quadratic equation: [http://plus.maths.org/issue29/features/quadratic/index.html Part I] {{Wayback|url=http://plus.maths.org/issue29/features/quadratic/index.html |date=20100430173908 }}，[http://plus.maths.org/issue30/features/quadratic/index.html Part II] {{Wayback|url=http://plus.maths.org/issue30/features/quadratic/index.html |date=20090902071504 }}

[[Category:方程|Y]]
[[Category:初等代数|Y]]