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{{NoteTA |G1=Math}}
{{lowercase}}'''σ-有限测度'''是[[测度论]]中的一个概念。對[[测度空间]] <math>(X,\,\Sigma,\,\mu)</math> 來說，若[[测度]] <math>\mu</math>  其對任意 <math>A \in \Sigma</math>  的取值 <math>\mu(A)</math> 是一个有限的[[实数]]（而不是[[无穷大]]），那么就称这个测度为'''有限测度'''。

若測度空間的母集合 <math>X</math> 可表示为 <math>\Sigma</math> 的某有限可測集合序列 <math>\{E_n\in\Sigma\}_{n\in\N}</math> 的[[并集]]：

: <math>X = \bigcup_{n\in\N} E_n</math>

則么就称这个测度为'''{{mvar|σ-}}有限测度'''{{r|vib|page1=24}}。進一步的，如果 <math>X</math> 的某个子集能够表示为 <math>\Sigma</math> 之中的某可測集合序列的并集，那么也称这个子集拥有σ-有限测度。

==例子==
*[[勒贝格测度]]：实数集<math>\mathbb{R}</math>上的勒贝格测度不是有限测度，因为整个实数轴的“长度”，也就是全集<math>\mathbb{R}</math>的测度是无穷大。但是，勒贝格测度是{{mvar|σ-}}有限测度，因为<math>\mathbb{R}</math>可以表示为所有形如<math>[-n,n]</math>的[[区间]]的并集，而每个区间的测度都是有限的（等于<math>2n</math>）：
*:<math>\mathbb{R} = \bigcup_{n=1}^{\infty} [-n,n]. </math>{{r|vib|page1=24}}
*[[计数测度]]：实数集<math>\mathbb{R}</math>上的计数测度，是将任何的子集的元素“个数”作为测度值的测度：含有无穷多个元素的子集的测度就是无穷大{{r|csk|page1=20-21}}。这个测度不是{{mvar|σ-}}有限测度，因为实数集是不可数的，它不能表示成可数个只包含有限个元素的子集的并集{{r|csk|page1=30}}。不过，自然数集<math>\mathbb{N}</math>上的计数测度就是{{mvar|σ-}}有限测度{{r|csk|page1=29}}，因为全集<math>\mathbb{N}</math>可以（很自然地）表示成可数个测度为1的子集的并集：
*:<math>\mathbb{N} = \bigcup_{n=1}^{\infty} \{ n \}. </math>
*[[局部紧群]]：设<math>G</math>是一个局部紧的拓扑群，并且是[[Σ-紧致|{{mvar|σ-}}紧致]]的，那么群<math>G</math>上的[[哈尔测度]]是{{mvar|σ-}}有限测度{{r|abk|page1=42}}。

==性质==
{{mvar|σ-}}有限测度中，全集可以表示为<math> \mathcal{A}</math>中的可数个有限测度子集的并集：<math>\Omega = \bigcup_{n=1}^{\infty} B_n </math>，但实际上表示的方法可以不止一种。比如说，令
:<math>\forall n \in \mathbb{N}, \; \; C_n = \bigcup_{k=1}^{n} B_k \in \mathcal{A},</math>
那么<math>\forall n \in \mathbb{N}, \; \; \mu(C_n) \leqslant \sum_{k=1}^{n} \mu(B_k)</math>，也就是说<math>\left(C_n\right)_{n\in\mathbb{N}}</math>也是一系列有限测度的子集，并且<math>C_1 \subset C_2 \subset \cdots \subset C_n \subset C_{n+1}  \subset \cdots </math>，所以<math>\mu(C_1) \leqslant \mu(C_2) \leqslant \cdots \leqslant \mu(C_n) \leqslant \mu(C_{n+1}) \leqslant \cdots </math>。随着下标增大，<math>C_n</math>的测度越来越大，趋向正无穷大，并且<math>\Omega = \bigcup_{n=1}^{\infty} C_n </math>。这称为全集的升序表示。而如果令：
:<math>C_0 = \varnothing, \; \; \forall n \in \mathbb{N}, \; \; D_n = C_{n}\setminus C_{n-1}\in \mathcal{A}, </math>，
那么<math>\left(D_n\right)_{n\in\mathbb{N}}</math>也是一系列测度有限，并且两两不相交的集合（交集为[[空集]]），并且<math>\Omega = \bigcup_{n=1}^{\infty} D_n </math>。<math>\left(D_n\right)_{n\in\mathbb{N}}</math>被称为全集的一个[[集合划分|划分]]，或者称为全集的不交覆盖。

===半有限和一致{{mvar|σ-}}有限===
与{{mvar|σ-}}有限测度的概念相关的概念还有'''半有限测度'''和'''一致{{mvar|σ-}}有限测度'''。一致{{mvar|σ-}}有限测度是一类特殊的{{mvar|σ-}}有限测度。它不仅要求全集<math>\Omega</math>能够表示为<math> \mathcal{A}</math>中的可数个有限测度子集的并集：<math>\Omega = \bigcup_{n=1}^{\infty} B_n </math>，而且要求存在一个正实数<math>m</math>，使得这些子集的测度（的[[绝对值]]）都小于等于<math>m</math>。
:<math>\Omega = \bigcup_{n=1}^{\infty} B_n, \qquad B_n \in \mathcal{A}, \quad |\mu(B_n)|< m,</math>
勒贝格测度和自然数集上的计数测度都是一致{{mvar|σ-}}有限测度。但并非所有的{{mvar|σ-}}有限测度都是一致{{mvar|σ-}}有限测度。比如说自然数集上如下定义的{{mvar|σ-}}有限测度<math>\mu_c</math>：
:<math> \forall E \in \mathbb{N}, \; \;\mu_c(E) = \sum_{k\in E} k </math>
就不是一致{{mvar|σ-}}有限测度{{r|csk|page1=30}}。

半有限测度则是比{{mvar|σ-}}有限测度更宽泛的一种定义。如果<math>(\Omega, \mathcal{A})</math>上的一个测度中，任意一个测度为无穷大的子集都包含有测度为任意大有限值的子集，那么就说这个测度是半有限测度。任何的{{mvar|σ-}}有限测度都是半有限测度，只要考虑它的升序表示，但反之则不然。比如说实数集上的计数测度就是半有限测度，但它并不是{{mvar|σ-}}有限测度{{r|csk|page1=30}}。

===与概率测度的等价性===
给定<math>(\Omega, \mathcal{A})</math>，其上的任何{{mvar|σ-}}有限测度<math>\mu</math>都[[绝对连续|等价]]于一个<math>(\Omega, \mathcal{A})</math>的概率测度。具体的构造方法是：令<math>\left(B_n\right)_{n\in\mathbb{N}}</math>为全集<math>\Omega</math>的一个不交覆盖（[[集合划分|划分]]），并且每个<math>B_n</math>在<math>\mu</math>下的测度都是有限的；再令<math>\left(\omega_n\right)_{n\in\mathbb{N}}</math>为一个由正实数构成的[[数列]]，并且[[级数]]和
:<math>\sum_{n = 1}^\infty w_n = 1.</math>
那么以下方式定义的测度<math>\nu</math>：
:<math>\forall A \in \mathcal{A}, \; \; \nu(A) = \sum_{n = 1}^\infty w_n \frac { \mu (A \cap B_n) } {\mu (B_n)} </math>
就是一个与<math>\mu</math>等价的概率测度，因为两者有着相同的[[零测集]]。

==参见==
*[[富比尼定理]]
*[[叶戈罗夫定理]]
*[[拉东-尼科迪姆定理]]

==参考资料==
{{reflist|
refs=
<ref name="vib">{{en}}{{cite book | title=''Measure Theory'' | publisher=Springer | author=Vladimir I. Bogachev | year=2007 | isbn=9783540345145}}</ref>
<ref name="csk">{{en}}{{cite book | title=''Measure Theory: A First Course'' | publisher=Gulf Professional Publishing，插图版 | author=Carlos S. Kubrusly | year=2007 | isbn=9780123708991}}</ref>
<ref name="abk">{{en}}{{cite book | title=''Topics in Measure Theory and Real Analysis'' | publisher=Springer | author=A. B. Kharazishvili | year=2009 | isbn=9789491216367}}</ref>
}}
 
[[Category:测度论]]