查看“︁Σ-代数”︁的源代码

{{Lowercase}}
{{NoteTA
|G1 = Math
}}
在[[數學]]中，某個[[集合 (数学)|集合]] '''X''' 上的 '''σ-代数'''（{{Lang-en|σ-algebra}}）又叫 '''σ-域'''（{{Lang-en|σ-field}}），是 '''X''' 的某群子集合所構成的特殊[[子集族]]。这个子集族对于補集运算和[[可數集|可數個]][[并集|聯集运算]]具有封闭性（因此对于可數個[[交集|交集运算]]也是封闭的）。σ-代数在測度論裡可以用来定义所谓的“'''可测集合'''”，是[[测度论]]的基础概念之一。

σ-代数的概念大约起始于1900~1930年，它随着测度论的发展而逐渐清晰。最著名的 σ-代数是关于实数轴测度的[[波莱尔测度|波莱尔σ-代数]]（得名于[[法国]][[数学家]][[埃米尔·博雷尔|埃米·波莱尔]]），以及1901年[[亨利·勒贝格]]建立的[[勒贝格测度|勒贝格σ-代数]]。而现代的测度理论的公理化体系就建立在勒贝格的相关理论之上。在这个领域中，σ-代数不仅仅是用于建立公理体系，也是一个强有力的工具，在定义许多重要的概念如[[条件期望]]和[[鞅 (概率论)|鞅]]的时候，都需要用到。

== 动机 ==
σ-代数的提出有至少三个作用：定义测度，操作集合的极限，以及管理集合所表示的部分信息。

===测度===
[[测度]]是给<math>X</math>的子集赋予非负[[实数]]值的[[函数]]；可以把测度想成给集合的一个精确的“大小”或“体积”的定义。直觉上来讲，若干个互不相交集合的并集的大小应当等于它们各自的大小之和，即使有无穷多个这样的[[不交集]]。

== 定义 ==
{{math_theorem
| name = 定義
| math_statement = <br/>
<math>X</math> 為一[[集合 (数学)|集合]]，假設有[[子集族]] <math>\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(X)</math>（ <math>\mathcal{P}(X)</math> 代表 <math>X</math> 的[[冪集]]）滿足下列條件<ref>{{cite book|title=Measure Theory|url=https://archive.org/details/dli.ernet.233649|author=Paul Halmos|publisher=Van Nostrand|year=1950}}，第28页</ref><ref>{{cite book
 | title       = Théorie de l'intégration
 | publisher   = Vuibert
 | author      = Marc Briane & Gilles Pagès
 | year      = 2000
 | isbn    = 2-7117-8946-2
}}，第45-46页</ref>
# <math>X \in \mathcal{F}</math>
# <math>(\forall A \in \mathcal{F})
\left\{
(A \in \mathcal{F}) \Rightarrow [(X - A) \in \mathcal{F}]
\right\} </math>
# <math>(\forall \mathcal{A})
\left\{
    [(\mathcal{A} \cong \N)
        \wedge
    (\mathcal{A} \subseteq \mathcal{F})]
    \Rightarrow
    \left(
        \bigcup \mathcal{A} \in \mathcal{F}
    \right)
\right\} </math>
則稱 <math>\mathcal{F}</math> 是 <math>X</math> 的一個 '''σ-代數'''。
}}
注意到定義第3條的<math>\mathcal{A} \cong \N</math>，意思是 <math>\mathcal{A}</math> 和[[自然数|自然数系]] <math>\N</math> [[等势]]，直觀的意思就是 <math>\mathcal{A}</math> 裡的元素跟自然數一樣多。

以上定義的直觀意義為：一群 <math>X</math> 的[[子集|子集合]]所組成的集合 <math>\mathcal{F}</math> ，为 <math>X</math> 上的一个 '''σ-代数'''意思是滿足：

* <math>X</math> 本身就是 <math> \mathcal{F}</math> 的元素；
* 如果集合 <math>A</math> 在 <math> \mathcal{F}</math> 中，那么它的[[补集]] <math> X - A  </math> 也在<math> \mathcal{F}</math>中；
* 如果有可數个集合 <math>A_1 , A_2, \cdots</math> 都在 <math>\mathcal{F}</math> 中，那么它们的[[并集|聯集]]也在<math>\mathcal{F}</math> 中。

在[[測度論]]裡[[有序对]] <math>\left(X,\mathcal{F}\right)</math> 會被称为一个[[可测空间]]。而任何在 <math>\mathcal{F}</math> 中的子集 <math>A</math>，則称为'''可测集合'''（measurable set）；而在[[概率论]]中， <math>\mathcal{F}</math> 被稱為'''事件族'''（family of events）， <math>\mathcal{F}</math> 中的子集 <math>A</math> 則称为[[事件 (概率论)|事件]]。

=== 例子 ===
* <math>X</math>上最小的σ-代数是<math>\{ \varnothing, X \}</math>。
* <math>X</math>上最大的σ-代数是<math>X</math>的[[冪集]]<math>\mathcal{P}(X)</math>（也就是所有 <math>X</math> 的[[子集|子集合]]所組成的集合）

== 最小σ-代数 ==
{{math_theorem
| math_statement = <br/>
設 <math>\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(X)</math> 是 <math>X</math> 的一個[[子集族]]，則：

: <math>\sigma(\mathcal{F})
:= \bigcap \bigg\{ \Sigma
\,\bigg|\,
    (\Sigma\text{ is a sigma algebra of } X) \wedge
    (\mathcal{F} \subseteq \Sigma)
\bigg\} </math> 
也是<math>X</math> 的σ代数。
| title = 定理
}}
{| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable"
!'''證明'''
|-
|根據 <math>\sigma(\mathcal{F})</math> 的定義（嚴謹來說，依據[[策梅洛-弗兰克尔集合论#分類公理|分類公理]]所新增的公理），對所有[[集合 (数学)|集合]] <math> A </math> 有：
: <math>A \in \sigma(\mathcal{F})
\Leftrightarrow
(\forall \Sigma)
\left\{
    [\,(\Sigma \text{ is a algebra of } X)
    \wedge
    (\mathcal{F} \subseteq \Sigma)\,]
    \Rightarrow
    (A \in \Sigma)
\right\}
</math> (a)

以下將逐條檢驗σ代数的定義，來驗證 <math>\sigma(\mathcal{F})</math> 的確是 <math>X</math> 的σ代数：

(1) <math>X \in \sigma(\mathcal{F})</math>

對所有的[[集合族]] <math>\Sigma</math> 來說，只要 <math>\Sigma</math> 是σ代数，按照定義理當有 <math>X \in \Sigma</math> ，所以由式(a)的右方的確可以得出 <math>X \in \sigma(\mathcal{F})</math> 。

(2)若 <math>A \in \Sigma</math> ，則 <math>X - A</math> 也在 <math>\sigma(\mathcal{F})    </math> 中

若 <math>A \in \Sigma</math> ，那根據式(a)，對所有的[[集合族]] <math>\Sigma</math> 來說，只要 <math>\Sigma      </math> 是σ代数 且<math>\mathcal{F} \subseteq \Sigma</math>，理當有 <math>A \in \Sigma</math>，所以對所有 <math>\Sigma</math> 只要滿足這兩個條件，理當有 <math>X - A \in \Sigma</math>，所以由式(a)的右方的確有：
: <math>(\forall A )\{
[A \in \sigma(\mathcal{F})]
\Rightarrow
[X - A \in \sigma(\mathcal{F})]
\}
</math>

(3)可數個[[并集]]也在 <math>\sigma(\mathcal{F})</math> 中

若 <math>\{A_1,\,A_2,\,\dots\} \subseteq \sigma(\mathcal{F})</math> ，由式(a)，只要 <math>\Sigma</math> 滿足(a)左方的兩個條件，就有 <math>\{A_1,\,A_2,\,\dots\} \subseteq \Sigma</math> ，所以：
: <math>\bigcup\{A_1,\,A_2,\,\dots\} \in \Sigma</math>

所以再從(a)右方，就可以得到：
: <math>\bigcup\{A_1,\,A_2,\,\dots\} \in \sigma(\mathcal{F})</math>

綜上所述， <math>\sigma(\mathcal{F})</math> 的確是 <math>X</math> 的σ代数。<math>\Box </math>
|}

根據以上的定理，可以做以下的定義：

{{math_theorem
| name = 定義
| math_statement = <br/>
<math>\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(X)</math> 是 <math>X</math> 的一個[[子集族]]，則：

: <math>\sigma(\mathcal{F})
:= \bigcap \bigg\{ \Sigma
\,\bigg|\,
    (\Sigma\text{ is a sigma algebra of } X) \wedge
    (\mathcal{F} \subseteq \Sigma)
\bigg\} </math> 
稱為包含 <math>\mathcal{F}</math> 的'''最小σ-代数'''。
}}

=== 例子 ===
* 设集合<math>X=\{a,b,c,d\}</math>，那么<math> \sigma(\{\{a\}\}) = \{\varnothing, \{a\}, \{b, c, d\}, X\} </math> 是集合<math>X</math>上含有 <math> \{a\}</math> 的σ-代数中最「小」的一个。


== 性质 ==


σ-代数是一个[[集合域|代数]]也是一个[[λ系]]，它对集合的[[交集]]、[[聯集]]、[[差集]]、可數交集、可數聯集运算都是封闭的<!--，这为将集合论推广到可列集合上去奠定了基础-->。

== 参考来源 ==
{{reflist}}

{{Authority control}}
[[Category:测度论]]
[[Category:集合族]]
[[Category:布尔代数]]
[[Category:試驗 (機率論)]]