查看“︁Γ函数”︁的源代码

{{noteTA
|G1=Math
|G2=IT
|1=zh-hans:递推; zh-hant:遞迴;
|3=zh-hans:欧拉; zh-hant:尤拉;
}}
[[File:Gamma_plot zh.svg|thumb|240x240像素|Γ函數在实数定义域上的[[函數圖形]]]]
{{微積分學}}
在[[數學]]中，<math>\Gamma \,</math>'''函数'''（'''伽瑪函數'''；Gamma函数），是[[階乘]]函數在[[實數]]與[[复数 (数学)|複數]]域上的擴展。如果<math>n</math>為[[正整數]]，則：
:<math> \Gamma(n) = (n-1)!</math>

根据[[解析延拓]]原理，伽瑪函數可以定義在除去[[非正整數]]的整個[[复数 (数学)|複數]]域上：
:<math> \Gamma(z)=\int_{0}^{\infty}t^{z-1}\mathrm{e}^{-t}\rm{d}t,</math>  <math>  \Re(z)>0.</math>
数学家[[阿德里安-马里·勒让德|勒讓德]]首次使用了[[希腊字母]]Γ作为该函数的记号。在[[概率論|機率論]]和[[组合数学]]中此函數很常用。

== 定義 ==
<math>\Gamma \,</math>函數可以通过[[尤拉|欧拉]]（Euler）第二类积分定義：
:<math>\Gamma(z)=\int_{0}^{\infty}t^{z-1}\mathrm{e}^{-t}\rm{d}t</math>
对[[复数 (数学)|复数]]<math>z\,</math>，我们要求<math>\mathrm{Re}(z) > 0</math>。

<math>\Gamma</math>函數还可以通过对<math>\mathrm{e}^{-t}\,</math>做[[泰勒展开]]，[[解析延拓]]到整个[[复平面]]：
<math>\Gamma(z)=\int_{1}^{\infty}\frac{t^{z-1}}{\mathrm{e}^t}{\rm{d}}t+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\frac{1}{n+z}</math>

这样定义的<math>\Gamma</math>函數在全平面除了<math>z=0,-1,-2,\ldots</math>以外的地方解析。

<math>\Gamma</math>函數也可以用[[无穷乘积]]的方式表示：
:<math>\Gamma(z)=\frac{1}{z}\prod_{n=1}^{\infty} \left(1+\frac{z}{n}\right)^{-1}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{z}</math>

这说明<math>\Gamma(z)</math>是亚纯函数，而<math>\frac{1}{\Gamma(z)}</math>是全纯函数。

== 历史動機 ==
Γ函數本身可以被看作是一個下列插值問題的解：

『找到一個光滑曲線連接那些由 <math>y = (x - 1)!</math> 所給定的點<math>(x, y)</math>，並要求<math>x</math>要為正整數』

由前幾個的[[階乘]]清楚地表明這樣的曲線是可以被畫出來的，但是我們更希望有一個精確的公式去描述這個曲線，並讓階乘的操作不會依賴於<math>x</math>值的大小。而最簡單的階乘公式 <math>x! = 1 \times 2 \times \cdots \times x</math> 不能直接應用在<math>x</math>值為[[分數|分数]]的時候，因為它被限定在<math>x</math>值為正整數而已。相對而言，并不存在一個有限的關於加總、乘積、冪次、指數函數或是對數函數可以表達 <math>x!</math>，但是是有一個普遍的公式藉由微積分的積分與極限去表達階乘的，而 Γ函數就是那個公式。<ref>{{Cite journal |last=P. J. |first=Davis |date=1959 |title=Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function |url=https://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/leonhard-eulers-integral-an-historical-profile-of-the-gamma-function |journal=American Mathematical Monthly |doi=10.2307/2309786 |access-date=2023-01-01 |archive-date=2023-01-01 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230101190952/https://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/leonhard-eulers-integral-an-historical-profile-of-the-gamma-function |dead-url=no }}</ref>

階乘有無限多種的連續擴張方式將定義域擴張到非整數：可以通過任何一組孤立點畫出無限多的曲線。Γ函數是實務上最好的一個選擇，因為是[[解析函数|解析的]](除了非正整數點)，而且它可以被定義成很多種等價形式。然而，它並不是唯一一個擴張階乘意義的解析函數，只要給予任何解析函數，其在正整數上為零，像是 <math>k\sin (m\pi x)</math>，會給出其他函數有著階乘性質。

== 無窮乘積 ==
<math>\Gamma\,</math>函數可以用[[無窮乘積]]表示：
:<math>\Gamma(z) = \lim_{n \to {\infty}} n! \; n^z\prod_{k=0}^{n} (z+k)^{-1}</math>
:<math>\Gamma(z) = \frac{\mathrm{e}^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} \mathrm{e}^{\frac{z}{n}}</math>
其中<math>\gamma\,</math>是[[欧拉-马歇罗尼常数]]。

== Γ積分 ==
:<math>1= \int_{0}^{\infty}\frac{x^{\alpha-1}\lambda^\alpha \mathrm{e}^{-\lambda x}}{\Gamma\left(\alpha \right)} {\rm{d}} x</math>

<math>\implies
\frac{\Gamma\left(\alpha\right)}{\lambda^\alpha}
=
\int_{0}^{\infty}
x^{\alpha-1}\mathrm{e}^{-\lambda x} {\rm{d}}x</math>

== 递推公式 ==
<math> \Gamma \,</math>函数的递推公式为：
<math> \Gamma(x+1)=x\Gamma(x)</math>，

对于[[正整数]]<math>n\,</math>，有
:<math> \Gamma(n+1)=n!</math>，
可以说<math> \Gamma \,</math>函数是[[階乘]]的推廣。

=== 递推公式的推导 ===
<math>\Gamma(n + 1) = \int_0^\infty \mathrm{e}^{-x} x ^{n + 1 - 1} \mathrm{d}x = \int_0^\infty \mathrm{e}^{-x} x ^n {\rm{d}}x</math>

我们用[[分部積分法|分部积分法]]来计算这个积分：

<math>\int_0^\infty \mathrm{e}^{-x} x ^n \mathrm{d}x = \left[\frac{-x^n}{\mathrm{e}^x}\right]_0^\infty + n \int_0^\infty \mathrm{e}^{-x} x ^{n - 1} {\rm{d}} x</math>

当<math>x=0 \,</math>时，<math>\tfrac{-0^n}{\mathrm{e}^0} = \tfrac{0}{1} = 0</math>。当<math>x \,</math>趋于[[无穷大]]时，根据[[洛必达法则]]，有：

<math>\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-x^n}{\mathrm{e}^x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-n! \cdot 0}{\mathrm{e}^x} = 0</math>.

因此第一项<math>\left[\tfrac{-x^n}{\mathrm{e}^x}\right]_0^\infty </math>变成了零，所以：

<math>\Gamma(n + 1) = n \int_0^\infty \frac{x ^{n - 1}}{\mathrm{e}^x} {\rm{d}}x</math>

等式的右面正好是<math>n \Gamma(n)\,</math>, 因此，[[递推公式]]为：

:<math>{\Gamma(n + 1) = n \Gamma(n)} \,</math>.

== 重要性质 ==
* 當<math>z\to 0^+</math>時，<math>\Gamma(z)\to+\infty</math>
* [[歐拉反射公式]]（余元公式）：
: <math>\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin{\pi z}} \quad (0<\mathrm{Re}(z)<1)</math>.
:由此可知当<math>\ z=\tfrac{1}{2}</math>时，<math>\Gamma\left(\tfrac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}</math>.

* 伽马函数还是负[[自然指数函数]]的[[梅林变换]]:    <math> \Gamma(z)=\mathcal{M}\{e^{-x}\}(z).</math>

* 乘法定理：
:<math>\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \tfrac{1}{2}\right) = 2^{1-2z} \; \sqrt{\pi} \; \Gamma(2z)</math>。
:<math>\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \tfrac{1}{m}\right) \; \Gamma\left(z + \tfrac{2}{m}\right) \cdots
\Gamma\left(z + \tfrac{m-1}{m}\right) =
(2 \pi)^{\frac{m-1}{2}} \; m^{\frac{1}{2} - mz} \; \Gamma(mz)</math>.
* 此外：
:<math>\Gamma\left(n+\tfrac{1}{2}\right)=\frac{(2n)!\sqrt{\pi}}{n!4^n}</math>.
* 使用乘法定理推導的關係：
:<math>\Gamma(1/6) = \Gamma(1/3)^2 / \sqrt{\pi} * 2^{2/3} * \sin({\pi/3}).</math>
:<math>\Gamma(5/6) = 1 / \Gamma(1/3)^2 * \sqrt{\pi}^3 * 2^{4/3} / \sqrt{3}.</math>
:<math>\Gamma(1/10) = \Gamma(1/5) * \Gamma(2/5) / \sqrt{\pi} * 2^{4/5} * \sin({2*\pi/5}).</math>
:<math>\Gamma(3/10) = \Gamma(1/5) / \Gamma(2/5) * \sqrt{\pi} / 2^{3/5} / \sin({3*\pi/10}).</math>
:<math>\Gamma(7/10) = \Gamma(2/5) / \Gamma(1/5) * \sqrt{\pi} * 2^{3/5}.</math>
:<math>\Gamma(9/10) = 1 / (\Gamma(1/5) * \Gamma(2/5)) * \sqrt{\pi}^3 / 2^{4/5} / (\sin(\pi/10) * \sin({2*\pi/5})).</math>
<ref>{{cite web|url= https://github.com/discoleo/R/blob/master/Math/Integrals.Gamma.R|title= Relations of the Gamma function|last= Mada|first= L.|date= 2020-04-24|website= R code on Github|publisher= Code publicly available on Github [Personal Research]|access-date= 2020-04-24|quote= Relations of the Gamma function|archive-date= 2021-04-02|archive-url= https://web.archive.org/web/20210402055736/https://github.com/discoleo/R/blob/master/Math/Integrals.Gamma.R|dead-url= no}}</ref>

此式可用來協助計算[[t分布]]機率密度函數、[[卡方分布]]機率密度函數、[[F分布]]機率密度函數等的累計機率。
* 極限性質
對任何實數α
:<math>\lim_{n\to\infty} \frac{\Gamma(n+\alpha)}{\Gamma(n)n^{\alpha}} = 1, \qquad \alpha\in\mathbf{R}</math>

=== 斯特靈公式 ===
{{函數圖形|title=Γ函數與斯特靈公式|width=200|height=100|number class=複數|nonreal is nan=1|round number=8
|start=-0.815513|end=2.85236|min=0|max=5|sampling=200
|1 = gamma(x+1) | 1 name=gamma(z+1)
|2 = sqrt(2*pi*x)*(x/e)^x | 2 name=√(2πx)(x/e)^x
|caption=<math>\Gamma(z+1)</math>（藍色）、<math>\sqrt{2\pi z}\left(\frac{z}{e}\right)^z</math>（橘色），數字越大<math>\sqrt{2\pi z}\left(\frac{z}{e}\right)^z,</math>會越趨近<math>\Gamma(z+1)</math>。但<math>\sqrt{2\pi z}\left(\frac{z}{e}\right)^z</math>會在負值則會因為出現虛數而無法使用。}}
{{main|斯特靈公式}}
[[斯特靈公式]]能用以估計<math>\Gamma(z)</math>函数的增長速度。公式為：
:<math>\Gamma(z+1)\sim\sqrt{2\pi z}\left(\frac{z}{e}\right)^z,</math>
其中[[E (数学常数)|e]]約等於{{複變運算|e}}。

=== 特殊值 ===
:<math>\begin{array}{rcccl}
\Gamma\left(-\tfrac{3}{2}\right) &=& \tfrac{4}{3} \sqrt{\pi} &\approx& 2.363\,271\,801\,207 \\
\Gamma\left(-\tfrac{1}{2}\right) &=& -2\sqrt{\pi} &\approx& -3.544\,907\,701\,811 \\
\Gamma\left(\tfrac{1}{2}\right) &=& \sqrt{\pi} &\approx& 1.772\,453\,850\,906 \\
\Gamma(1) &=& 0! &=& 1 \\
\Gamma\left(\tfrac{3}{2}\right) &=& \tfrac{1}{2}\sqrt{\pi} &\approx& 0.886\,226\,925\,453 \\
\Gamma(2) &=& 1! &=& 1 \\
\Gamma\left(\tfrac{5}{2}\right) &=& \tfrac{3}{4}\sqrt{\pi} &\approx& 1.329\,340\,388\,179 \\
\Gamma(3) &=& 2! &=& 2 \\
\Gamma\left(\tfrac{7}{2}\right) &=& \tfrac{15}{8}\sqrt{\pi} &\approx& 3.323\,350\,970\,448 \\
\Gamma(4) &=& 3! &=& 6
\end{array}</math>
'''<big>连分数表示</big>'''

伽马函数也可以在复数域表示为两个[[连分数]]之和<ref>{{Cite web|title=Exponential integral E: Continued fraction representations|url=https://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/ExpIntegralE/10/0005/|access-date=2023-01-01|archive-date=2022-11-09|archive-url=https://web.archive.org/web/20221109153543/https://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/ExpIntegralE/10/0005/|dead-url=no}}</ref>：

<math>\Gamma (z)=\cfrac{e^{-1}}{2+0-z+1\cfrac{z-1}{2+2-z+2\cfrac{z-2}{2+4-z+3\cfrac{z-3}{2+6-z+4\cfrac{z-4}{2+8-z+5\cfrac{z-5}{2+10-z+\ddots}}}}}}+\cfrac{e^{-1}}{z+0-\cfrac{z+0}{z+1+\cfrac{1}{z+2-\cfrac{z+1}{z+3+\cfrac{2}{z+4-\cfrac{z+2}{z+5+\cfrac{3}{z+6-\ddots}}}}}}} </math>

== 导数 ==
{{函數圖形
| title = Γ函數的微分
| start = -2
| end = 5
| sampling = 500
| width = 200
| height = 100
| min = -20
| max = 50|gamma(x)|gamma(x)
| calc diff 2 = 1
| caption = Γ函數（藍色）、Γ函數的微分（橘色），其中，大於50與小於-20的部分被截掉。
}}
對任何[[复数 (数学)|複數]]''z''，滿足 ''Re(z) > 0''，有

:<math>\frac{{\rm d}^n}{{\rm d}z^n}\,\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t} (\ln t)^{n} dt </math>

於是，對任何正整數 ''m''

:<math>\Gamma'(m+1) = m! \left(  - \gamma + \sum_{k=1}^m\frac{1}{k} \right)\, </math>

其中γ是[[歐拉-馬斯刻若尼常數|歐拉-馬歇羅尼常數]]。

== 复数值 ==
:<math>\Gamma(x+{\rm{i}}y)=\left\{\int_1^{\infty}\frac{t^{x-1}}{\mathrm{e}^t}\cos (y\ln t){\rm{d}}t+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!}\left[\frac{k+x}{(k+x)^2+y^2}\right]\right\}+{\rm{i}}\left\{\int_1^{\infty}\frac{t^{x-1}}{\mathrm{e}^t}\sin (y\ln t){\rm{d}}t-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!}{\left[\frac{y}{(k+x)^2+y^2}\right]}\right\}\,</math>

== 解析延拓 ==
[[File:Gamma abs.png|thumb|250px|Γ函數的絕對值函數圖形]]
注意到在<math>\Gamma</math>函數的積分定義中若取<math>z \,</math>為實部大於零之[[复数 (数学)|複數]]、則積分存在，而且在右半複平面上定義一個[[全纯函数|全純函數]]。利用函數方程
: <math>\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin{\pi z}} \quad (0 < \mathrm{Re}(z) < 1) </math>
並注意到函數<math>\sin (\pi z) \,</math>在整個複平面上有解析延拓，我們可以在<math>\mathrm{Re}(z)<1</math>時設
: <math> \Gamma(z) = \dfrac{\pi}{\Gamma(1-z) \sin{\pi z}}</math>
從而將<math>\Gamma \,</math>函數延拓為整個複平面上的[[亚纯函数|亞純函數]]，它在<math>z=0,-1,-2,-3\cdots</math>有單[[极点 (复分析)|極點]]，留數為
: <math>\mathrm{Res}(\Gamma, -n) = \dfrac{(-1)^n}{n!}. </math>

== 程式實現 ==
許多程式語言或試算表軟體有提供Γ函数或對數的Γ函数，例如EXCEL。而對數的Γ函数還要再取一次自然指數才能獲得Γ函数值。例如在EXCEL中，可使用GAMMALN函数，再用<code><nowiki>EXP[GAMMALN(X)]</nowiki></code>，即可求得任意實数的伽玛函数的值。
*例如在EXCEL中：<code><nowiki>EXP[GAMMALN(4/3)]</nowiki></code>={{複變運算|gamma(4/3)}}
而在沒有提供Γ函数的程式環境中，也能夠過泰勒級數或斯特靈公式等方式來近似，例如Robert H. Windschitl在2002年提出的方法，其在十進制可獲得有效數-{}-字八位數的精確度<ref>{{Cite web|url=http://www.rskey.org/gamma.htm | author= Viktor T. Toth | title="Programmable Calculators: Calculators and the Gamma Function"| year=2006 |accessdate=2018-11-18 | archive-url=https://web.archive.org/web/20070223105756/http://www.rskey.org/gamma.htm | archive-date=2007-02-23}}</ref>，已足以填滿[[單精度浮點數]]的二進制有效數-{}-字24位：
:<math>\Gamma(z) \approx \sqrt{\frac{2 \pi}{z} } \left( \frac{z}{e} \sqrt{ z \sinh \frac{1}{z}  + \frac{1}{810z^6} } \right)^{z}</math>

== 参见 ==
* [[双伽玛函数]]
* [[多伽玛函数]]
* [[倒數伽瑪函數]]
* [[反伽瑪函數]]
*[[伽玛分布]]

== 參考文獻 ==
{{reflist}}
== 外部链接 ==
* [https://web.archive.org/web/20141004040947/http://www.flickering.cn/%E6%A6%82%E7%8E%87%E7%BB%9F%E8%AE%A1/2014/06/%E7%A5%9E%E5%A5%87%E7%9A%84%E4%BC%BD%E7%8E%9B%E5%87%BD%E6%95%B0%E4%B8%8A/ 神奇的Gamma函数(上)]
* [https://web.archive.org/web/20141004040958/http://www.flickering.cn/%E6%A6%82%E7%8E%87%E7%BB%9F%E8%AE%A1/2014/07/%E7%A5%9E%E5%A5%87%E7%9A%84%E4%BC%BD%E7%8E%9B%E5%87%BD%E6%95%B0%E4%B8%8B/ 神奇的Gamma函数(下)] 

{{Authority control}}
[[Category:特殊超几何函数]]
[[Category:複分析]]
[[Category:伽玛及相关函数]]