查看“︁Β分布”︁的源代码

{{NoteTA|G1=Math|T=zh-hant:Β分布;zh-cn:Β分布;zh-tw:貝它分布|1=zh-hant:參數;zh-cn:参数;zh-tw:母數
|2 = zh-hans:矩; zh-tw:動差;zh-hant:矩
}}
{{Probability distribution |
  name       =Β分布|
  type       =密度|
  pdf_image  =[[Image:Beta distribution pdf.svg|325px|Probability density function for the Beta distribution]]|
  cdf_image  =[[Image:Beta distribution cdf.svg|325px|Cumulative distribution function for the Beta distribution]]|
  parameters =<math>\alpha > 0</math> <br /><math>\beta > 0</math>|
  support    =<math>x \in (0; 1)\!</math>|
  pdf        =<math>\frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}} {\mathrm{B}(\alpha,\beta)}\!</math>|
  cdf        =<math>I_x(\alpha,\beta)\!</math>|
  mean       =<math>\operatorname{E}[x] = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}\!</math><br /><math>\operatorname{E}[\ln x] = \psi(\alpha) - \psi(\alpha + \beta)\!</math><br />(见[[双伽玛函数]])|
  median     =<math>I_{0.5}^{-1}(\alpha,\beta)</math> 无解析表达|
  mode       =<math>\frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}\!</math> for <math>\alpha>1, \beta>1</math>|
  variance   =<math>\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}\!</math>|
  skewness   =<math>\frac{2\,(\beta-\alpha)\sqrt{\alpha+\beta+1}}{(\alpha+\beta+2)\sqrt{\alpha\beta}}</math>|
  kurtosis   =''见文字''|
  entropy    =''见文字''|
  mgf        =<math>1  +\sum_{k=1}^{\infty} \left( \prod_{r=0}^{k-1} \frac{\alpha+r}{\alpha+\beta+r} \right) \frac{t^k}{k!}</math>|
  char       =<math>{}_1F_1(\alpha; \alpha+\beta; i\,t)\!</math> (见[[合流超几何函数]])|
}}
'''Β分布'''，亦称'''貝它分布'''、'''Beta 分布'''（Beta distribution），在[[概率论]]中，是指一组定义在<math>(0,1)</math>区间的连续[[概率分布]]，有两个母数<math>\alpha, \beta>0</math>。

==定义==
===概率密度函数===
Β分布的[[概率密度函数]]是：

:<math>
\begin{align}
f(x;\alpha,\beta) & = \frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{\int_0^1 u^{\alpha-1} (1-u)^{\beta-1}\, du} \\[6pt]
& = \frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}\, x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} \\[6pt]
& = \frac{1}{\mathrm{B}(\alpha,\beta)}\, x
^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}
\end{align}
</math>
其中<math>\Gamma(z)</math>是[[Γ函数]]。如果<math>n</math>為[[正整數]]，则有：
:<math> \Gamma(n) = (n-1)!</math>
随机变量X服从参数为<math>\alpha, \beta</math>的Β分布通常写作
:<math>X \sim \textrm{Be}(\alpha, \beta)</math>

===累积分布函数===
Β分布的[[累积分布函数]]是：

:<math>F(x;\alpha,\beta) = \frac{\mathrm{B}_x(\alpha,\beta)}{\mathrm{B}(\alpha,\beta)} = I_x(\alpha,\beta) \!</math>

其中<math>\mathrm{B}_x(\alpha,\beta)</math>是[[Β函数#不完全贝塔函数|不完全Β函数]]，<math>I_x(\alpha,\beta)</math>是[[Β函数#不完全贝塔函数|正则不完全贝塔函数]]。
==性质==
参数为<math>\alpha, \beta</math>Β分布的[[众数 (数学)|众数]]是：
:<math>\begin{align}
 \frac{\alpha - 1}{\alpha + \beta - 2} \\
\end{align}</math><ref>Johnson, Norman L., Samuel Kotz, and N. Balakrishnan (1995).  "Continuous Univariate Distributions, Vol. 2", Wiley, ISBN 978-0-471-58494-0.</ref>

[[期望值]]和[[方差]]分别是：

:<math> \mu = \operatorname{E}(X) = \frac{\alpha}{\alpha + \beta} </math>
:<math> \operatorname{Var}(X) = \operatorname{E}(X - \mu)^2 = \frac{\alpha \beta}{(\alpha + \beta)^2(\alpha + \beta + 1)}</math>

[[偏度]]是：
:<math>\frac{\operatorname{E}(X - \mu)^3}{[\operatorname{E}(X - \mu)^2]^{3/2}} = \frac{2 (\beta - \alpha) \sqrt{\alpha + \beta + 1} }
        {(\alpha + \beta + 2) \sqrt{\alpha \beta}}
</math>

[[峰度]]是：
:<math>\frac{\operatorname{E}(X - \mu)^4}{[\operatorname{E}(X - \mu)^2]^{2}}-3 = \frac{6[\alpha^3-\alpha^2(2\beta - 1) + \beta^2(\beta + 1) - 2\alpha\beta(\beta + 2)]}
{\alpha \beta (\alpha + \beta + 2) (\alpha + \beta + 3)}</math>

或：
:<math>\frac{6[(\alpha - \beta)^2 (\alpha +\beta + 1) - \alpha \beta (\alpha + \beta + 2)]}
{\alpha \beta (\alpha + \beta + 2) (\alpha + \beta + 3)}</math>

<math>k</math>阶[[動差|矩]]是：
:<math>\operatorname{E}(X^k) = \frac{\operatorname{B}(\alpha + k, \beta)}{\operatorname{B}(\alpha,\beta)} = \frac{(\alpha)_{k}}{(\alpha + \beta)_{k}}</math>
其中<math>(x)_{k}</math>表示[[阶乘幂#递进阶乘幂|递进阶乘幂]]。<math>k</math>阶[[動差|矩]]还可以递归地表示为：
:<math>\operatorname{E}(X^k) = \frac{\alpha + k - 1}{\alpha + \beta + k - 1}\operatorname{E}(X^{k - 1})</math>

另外，
:<math>\operatorname{E}(\log X) = \psi(\alpha) - \psi(\alpha + \beta)</math>

给定两个Β分布随机变量, ''X'' ~ Beta(α, β) and ''Y'' ~ Beta(α', β'), ''X''的[[微分熵]]为：<ref>A. C. G. Verdugo Lazo and P. N. Rathie. "On the entropy of continuous probability distributions," IEEE  Trans. Inf. Theory, IT-24:120–122,1978.</ref>
:<math>\begin{align}
  h(X) &= \ln\mathrm{B}(\alpha,\beta)-(\alpha-1)\psi(\alpha)-(\beta-1)\psi(\beta)+(\alpha+\beta-2)\psi(\alpha+\beta)
\end{align}</math>
其中<math>\psi</math>表示[[双伽玛函数]]。

[[联合熵]]为：
:<math>H(X,Y) = \ln\mathrm{B}(\alpha',\beta')-(\alpha'-1)\psi(\alpha)-(\beta'-1)\psi(\beta)+(\alpha'+\beta'-2)\psi(\alpha+\beta).\,</math>

其[[相对熵|KL散度]]为：

:<math>
 D_{\mathrm{KL}}(X,Y) = \ln\frac{\mathrm{B}(\alpha',\beta')}
                                {\mathrm{B}(\alpha,\beta)} -
                        (\alpha'-\alpha)\psi(\alpha) - (\beta'-\beta)\psi(\beta) +
                        (\alpha'-\alpha+\beta'-\beta)\psi(\alpha+\beta).
 </math>

== 參見 ==
* [[概率论]]
* [[機率分佈]]
* [[Β函数]]

== 外部連結 ==


*[http://www.stat.nuk.edu.tw/prost/Web/pdf14.htm Beta分佈] {{Wayback|url=http://www.stat.nuk.edu.tw/prost/Web/pdf14.htm |date=20200324104541 }}
*[http://cos.name/2013/01/lda-math-beta-dirichlet/ LDA-math-认识Beta/Dirichlet分布] {{Wayback|url=http://cos.name/2013/01/lda-math-beta-dirichlet/ |date=20170708081706 }}

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

{{常见一元概率分布}}
{{概率分布类型列表}}

[[Category:连续分布]]