黑塞二十七面體

Template:NoteTA Template:Infobox polyhedron 在幾何學中，黑塞二十七面體（Hessian polyhedron）是一個複正多面體，其位於${ℂ}^3$複希爾伯特空間中由27個莫比烏斯－坎特八邊形組成，共有27個面、72條三元邊和27個頂點，是一個自身對偶的多面體，其可以視為實數空間的四面體在複數空間中的類比。

由於這種形狀與黑塞排佈共享Template:Link-en結構，即12條線上有9個點，每條線上有3個點，每個點上有4條線，因此考克斯特將這種形狀以路德维希·奥托·黑塞的名字命名。

黑塞二十七面體是一種位於複數空間的立體，其對應到實數空間同樣也有一種實數空間的代表，其為Template:Link-en，考克斯特表示法計為Template:CDD，其在六維空間中與黑塞二十七面體共用其27個頂點，其216條邊可透過將三元邊₃{}替換成3條簡單邊即可於2₂₁中被觀察到。

性質

黑塞二十七面體由27個全等的莫比烏斯－坎特八邊形組成，共有27個面、72條邊和27個頂點，其72條邊皆為三元邊，每個邊皆連接了3個頂點；其27個頂點中，每個頂點皆為8個莫比烏斯－坎特八邊形的公共頂點，即頂點圖為莫比烏斯－坎特八邊形，換句話說即黑塞二十七面體是一個自身對偶多面體。

對稱性

其Template:Link-en為₃[3]₃[3]₃或Template:CDD對稱性，階數為648階，這種對稱性又可以稱為Template:Link-en。其在每個頂點有27個Template:CDD副本，階數為24階，其有24個三階反射對稱性。其考克斯特數為12，且具有基本不變量3,6和12的度數，其可以在多面體的投影對稱性中被觀察到。

頂點座標

對於λ, μ = 0,1,2，黑塞二十七面體的27個頂點可以在三維的複數空間中給出：

(0,ω^λ,−ω^μ)

(−ω^μ,0,ω^λ)

(ω^λ,−ω^μ,0)

其中$\omega =\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$.

面的組成

黑塞二十七面體，其中一個面以藍色表示。

黑塞二十七面體由27個全等的莫比烏斯－坎特八邊形組成。莫比烏斯－坎特八邊形是一種由8個頂點和8條稜所組成的幾何結構，其在施萊夫利符號中可以用₃{3}₃來表示、在考克斯特記號中可以用Template:CDD來表示。與一般的八邊形不同，莫比烏斯－坎特八邊形位於複希爾伯特平面，且構成這種形狀的稜每個稜階連接了三個頂點，稱為三元稜或三元邊（Trion），這種幾何結構在施萊夫利符號中可以用₃{}來表示。

莫比烏斯－坎特八邊形的正投影圖

考克斯特平面	B4		F4
圖
對稱性	[8]		[12/3]

正交投影

黑塞二十七面體有8種具有特殊對稱性的正交投影。其中重合的頂點以不同顏色表示，其72個三元邊被繪製為3條一般的邊。其中，第一種代表了E₆的考克斯特平面。

考克斯特平面正交投影

E6 [12]	Aut(E6) [18/2]	D5 [8]	D4 / A2 [6]
(1=紅,3=橘)	(1)	(1,3)	(3,9)
B6 [12/2]	A5 [6]	A4 [5]	A3 / D3 [4]
(1,3)	(1,3)	(1,2)	(1,4,7)

用途

部分研究中，此形狀用於表示標準模型中一些基本粒子的關係。

相關多面體及其他幾何結構

以Template:Link-en命名的複空間四維正多胞體——Template:Link-en是一種由240個黑塞二十七面體所組成的四維正多胞體，其胞和頂點圖皆為黑塞二十七面體。

參見

• 雙黑塞二十七面體
• 截半黑塞二十七面體

參考文獻

1. Coxeter, H. S. M., Moser, W. O. J.; Generators and Relations for Discrete Groups (1965), esp pp 67–80.
2. Coxeter, H. S. M.; Regular Complex Polytopes, Cambridge University Press, (1974).
3. Coxeter, H. S. M., Shephard, G.C.; Portraits of a family of complex polytopes, Leonardo Vol 25, No 3/4, (1992), pp 239–244,