舒尔正交关系

舒尔正交关系（Template:Lang-en）描述了有限群表示中的核心事实。它可以推广到一般的紧群，特别是紧李群，比如旋转群 SO(3)。此關係可藉由舒尔引理證明。

有限群

令 ${\mathrm{\Gamma }}^{(\lambda )}(R{)}_{mn}$ 是一个 |G| 阶（即 G 有 |G| 个元素）有限群 $G=\{R\}$ 的一个不可约矩阵表示 ${\mathrm{\Gamma }}^{(\lambda )}$ 的矩阵元素。因为可以证明任何有限群的不可约矩阵表示等价于一个酉表示，我们假设 ${\mathrm{\Gamma }}^{(\lambda )}$ 是酉的：

$\sum _{n=1}^{l_{\lambda }}{\mathrm{\Gamma }}^{(\lambda )}(R{)}_{nm}^{*}{\mathrm{\Gamma }}^{(\lambda )}(R{)}_{nk}={\delta }_{mk}\text{for all}R\in G,$

这里 $l_{\lambda }$ 是表示 ${\mathrm{\Gamma }}^{(\lambda )}$ 的（有限）维数。

正交关系，只对不可约表示的矩阵元素成立，是

$\sum _{R\in G}^{|G|}{\mathrm{\Gamma }}^{(\lambda )}(R{)}_{nm}^{*}{\mathrm{\Gamma }}^{(\mu )}(R{)}_{n^{\prime }{m}^{\prime }}={\delta }_{\lambda \mu }{\delta }_{n{n}^{\prime }}{\delta }_{m{m}^{\prime }}\frac{|G|}{l_{\lambda }}.$

这里 ${\mathrm{\Gamma }}^{(\lambda )}(R{)}_{nm}^{*}$ 是 ${\mathrm{\Gamma }}^{(\lambda )}(R{)}_{nm}$ 的複共轭，求和遍及 G 的所有元素。如果两个矩阵是在同一个不可约表示 ${\mathrm{\Gamma }}^{(\lambda )}={\mathrm{\Gamma }}^{(\mu )}$，则克罗内克函数 ${\delta }_{\lambda \mu }$ 是单位；如果 ${\mathrm{\Gamma }}^{(\lambda )}$ 与 ${\mathrm{\Gamma }}^{(\mu )}$ 不等价则${\delta }_{\lambda \mu }$为零。其他两个克罗内克函数則要求行与列的指标必须相等（$n=n^{\prime }$ 和 $m=m^{\prime }$）才能得到一个非零的结果。这个定义也叫做广义正交定理。

每个群有一个单位表示（所有群元素映为实数 1），这显然是一个不可约表示。舒尔正交关系马上给出

$\sum _{R\in G}^{|G|}{\mathrm{\Gamma }}^{(\mu )}(R{)}_{nm}=0$

对 $n,m=1,\dots ,l_{\mu }$ ，此式對任何不等于单位表示的不可约表示 ${\mathrm{\Gamma }}^{(\mu )}$成立。

例子

三个对象的 3! 个置换组成一个 6 阶群，通常记作 $S_3$（对称群）。这个群同构于点群 $C_{3v}$，由三重旋转轴以及三个铅直镜面平面组成。这个群有一个二维不可约表示（l = 2）。在 $S_3$ 情形，通常将这个不可约表示利用杨氏表（杨氏矩阵）记作 $\lambda =[2,1]$ 而在 $C_{3v}$ 情形通常写成 $\lambda =E$。在两种情形不可约表示都由如下六个实矩阵组成，每个代表一个群元素

$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ -\frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}\\ -\frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$

元素 (1,1) 的正规化为：

$\sum _{R\in G}^6\mathrm{\Gamma }(R{)}_{11}^{*}\mathrm{\Gamma }(R{)}_{11}=1^2+1^2+{(-\frac{1}{2})}^2+{(-\frac{1}{2})}^2+{(-\frac{1}{2})}^2+{(-\frac{1}{2})}^2=3.$

同样可以证明其它矩阵元素 (2,2)、(1,2) 与 (2,1) 的正规化。元素 (1,1) 与 (2,2) 的正交性：

$\sum _{R\in G}^6\mathrm{\Gamma }(R{)}_{11}^{*}\mathrm{\Gamma }(R{)}_{22}=1^2+(1)(-1)+(-\frac{1}{2})\left(\frac{1}{2}\right)+(-\frac{1}{2})\left(\frac{1}{2}\right)+{(-\frac{1}{2})}^2+{(-\frac{1}{2})}^2=0.$

类似的关系对元素 (1,1) 与 (1,2) 的正交性成立，如是等等。容易验证此例中所有对应矩阵元素之和为零，因为给定表示与恒等表示的正交性。

直接推论

矩阵的迹是对角矩阵元素之和，

$\mathrm{Tr}(\mathrm{\Gamma }(R))=\sum _{m=1}^l\mathrm{\Gamma }(R{)}_{mm}$.

所有迹的集合 $\chi \equiv \{\mathrm{Tr}(\mathrm{\Gamma }(R))|R\in G\}$ 是一个表示的特征标。通常将一个不可约表示中矩阵的迹写成 ${\chi }^{(\lambda )}$

${\chi }^{(\lambda )}(R)\equiv \mathrm{Tr}({\mathrm{\Gamma }}^{(\lambda )}(R))$.

利用这种记号我们可写出多个特征标公式：

$\sum _{R\in G}^{|G|}{\chi }^{(\lambda )}(R{)}^{*}{\chi }^{(\mu )}(R)={\delta }_{\lambda \mu }|G|,$

这可以用来检验一个表示是否是可约的（这些公式说明在任意特征标表中一行是正交向量）。以及

$\sum _{R\in G}^{|G|}{\chi }^{(\lambda )}(R{)}^{*}\chi (R)=n^{(\lambda )}|G|,$

这帮助我们确认不可约表示 ${\mathrm{\Gamma }}^{(\lambda )}$ 在具有特征标 $\chi (R)$ 的可约表示 $\mathrm{\Gamma }$ 中包含的次数。

例如，如果

$n^{(\lambda )}|G|=96$

这个群的阶是

$|G|=24$

则 ${\mathrm{\Gamma }}^{(\lambda )}$ 在给定“可约”表示 $\mathrm{\Gamma }$ 中包含的次数是

$n^{(\lambda )}=4.$

关于群特征表参见特征标理论。

紧群

有限群的正交关系推广为紧群（包含紧李群，比如 SO(3)）本质上是简单的：只要将在群上的求和换成在群上的积分。

每个紧群 $G$ 有惟一一个双不变哈尔测度，使得群的体积是 1。将这个测度记成 $dg$。设 $({\pi }^{\alpha })$ 是 $G$ 的不可约表示的一个完备集合，设 ${\varphi }_{v,w}^{\alpha }(g)=<v,{\pi }^{\alpha }(g)w>$ 是表示 ${\pi }^{\alpha }$ 的矩阵系数。正交关系可以叙述为两部分 1) 如果 ${\pi }^{\alpha }≆{\pi }^{\beta }$ 则：

$\underset{G}{\int }{\varphi }_{v,w}^{\alpha }(g){\varphi }_{v^{\prime },w^{\prime }}^{\beta }(g)dg=0$

2)如果 $\{e_i\}$ 是表示空间 ${\pi }^{\alpha }$ 的一个正交规范基，则：

$d^{\alpha }\underset{G}{\int }{\varphi }_{e_i,e_j}^{\alpha }(g){\varphi }_{e_m,e_n}^{\alpha }(g)dg={\delta }_{i,m}{\delta }_{j,n}$

这里 $d^{\alpha }$ 是 ${\pi }^{\alpha }$ 的维数。这些正交关系以及所有表示的维数有限是彼得-外尔定理的推论。

例 $SO(3)$

一个三参数群的例子是矩阵群 SO(3)，有所有 3×3 正交矩阵组成。这个群的一个可能的参数化是利用欧拉角： $𝐱=(\alpha ,\beta ,\gamma )$。界限是 $0\le \alpha ,\gamma \le 2\pi$ 以及 $0\le \beta \le \pi$。

体积元素 $\omega (𝐱)d{x}_{1}d{x}_2\cdots d{x}_r$ 的计算不仅取决于参数的选取，也取决于最终结果，即加权函数（测度） $\omega (𝐱)$ 的解析形式。

例如，SO(3) 的欧拉角参数化给出权重 $\omega (\alpha ,\beta ,\gamma )=\sin \beta ,$，而 n, ψ 参数化给出权重t $\omega (\psi ,\theta ,\varphi )=2(1-\cos \psi )\sin \theta$，其中 $0\le \psi \le \pi ,0\le \varphi \le 2\pi ,0\le \theta \le \pi$。

可以证明一个紧李群的不可约表示是有限维的并可选成酉的：

${\mathrm{\Gamma }}^{(\lambda )}(R^{-1})={\mathrm{\Gamma }}^{(\lambda )}(R{)}^{-1}={\mathrm{\Gamma }}^{(\lambda )}(R{)}^{†}\text{with}{\mathrm{\Gamma }}^{(\lambda )}(R{)}_{mn}^{†}\equiv {\mathrm{\Gamma }}^{(\lambda )}(R{)}_{nm}^{*}.$

简记成

${\mathrm{\Gamma }}^{(\lambda )}(𝐱)={\mathrm{\Gamma }}^{(\lambda )}(R(𝐱))$

正交关系具有形式

$\underset{x_1^0}{\overset{x_1^1}{\int }}\cdots \underset{x_r^0}{\overset{x_r^1}{\int }}{\mathrm{\Gamma }}^{(\lambda )}(𝐱{)}_{nm}^{*}{\mathrm{\Gamma }}^{(\mu )}(𝐱{)}_{n^{\prime }{m}^{\prime }}\omega (𝐱)d{x}_1\cdots d{x}_r={\delta }_{\lambda \mu }{\delta }_{n{n}^{\prime }}{\delta }_{m{m}^{\prime }}\frac{|G|}{l_{\lambda }},$

群的体积是

$|G|=\underset{x_1^0}{\overset{x_1^1}{\int }}\cdots \underset{x_r^0}{\overset{x_r^1}{\int }}\omega (𝐱)d{x}_1\cdots d{x}_r.$

我们注意到 SO(3) 的不可约表示是维格纳D-矩阵（Template:Lang）$D^{\ell }(\alpha \beta \gamma )$，它们的维数是 $2\ell +1$。故

$|SO(3)|=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\alpha \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sin \beta d\beta \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\gamma =8{\pi }^2,$

它们满足

$\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{D}^{\ell }(\alpha \beta \gamma {)}_{nm}^{*}{D}^{{\ell }^{\prime }}(\alpha \beta \gamma {)}_{n^{\prime }{m}^{\prime }}\sin \beta d\alpha d\beta d\gamma ={\delta }_{\ell {\ell }^{\prime }}{\delta }_{n{n}^{\prime }}{\delta }_{m{m}^{\prime }}\frac{8{\pi }^2}{2\ell +1}.$

参考文献

任何以物理或化学为目的的群表示论书籍中都会提到正交关系。下面更高等的书籍给出了证明：

• M. Hamermesh, Group Theory and its Applications to Physical Problems, Addison-Wesley, Reading (1962). (Reprinted by Dover).
• W. Miller, Jr., Symmetry Groups and their Applications, Academic Press, New York (1972).
• J. F. Cornwell, Group Theory in Physics, (Three volumes), Volume 1, Academic Press, New York (1997).