积和式

Template:NoteTA 在线性代数中，积和式（Template:Lang-en）是一个由方块矩阵$A$计算得到的标量，记作$\mathrm{perm}(A)$。积和式的定义与行列式类似，只是在求和时不添加正负号。当矩阵$A$包含若干变量时，积和式也可以看作是一个关于这些变量的多项式。积和式在计算机科学，特别是计算复杂性理论中有重要的地位，因为理论上的一个重要难题——计算一个二分图（Template:Lang-en）上完美匹配（Template:Lang-en）的数目——等价于求某个矩阵的积和式。

定义

一个$n\times n$矩阵$A=(a_{i,j})$的积和式定义为

$\mathrm{perm}(A)=\sum _{\sigma \in S_n}\prod _{i=1}^n{a}_{i,\sigma (i)}.$

其中$S_n$为$n$阶对称群_(n次对称群)，即包含所有$n$元排列的集合。在$n=2$的特殊情形下，

$\mathrm{perm}\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=ad+bc.$

从定义不难验证，积和式是多线性多项式，且置换$A$中行（或列）后保持不变。与行列式类似，积和式也可以用拉普拉斯展开式展开。

作为比较，同一个矩阵$A$的行列式定义为

$\det (A)=\sum _{\sigma \in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^n{a}_{i,\sigma (i)}$

其中$\mathrm{sgn}(\sigma )$为符号差。可以看出，两者形式上的区别仅在于某些项前面的符号有所不同。尽管如此，它们在性质上却有诸多不同。比如，置换$A$中两行（或列）后行列式的符号会改变，而正是这一性质使我们得以利用高斯消元法高效求出行列式的值。

与组合问题的联系

积和式的定义可以从如下两方面理解，一是用于计算二分图上完美匹配的个数，二是用于计算一个图上的圈覆盖的个数。

与二分图完美匹配的关系

二分图上的完美匹配是算法理论和计算复杂性理论中的重要问题。设二分图$G=(L,R,E)$，其中$L=\{1,2,\dots ,n\}$是左边结点的集合，$R=\{1^{\prime },2^{\prime },\dots ,n^{\prime }\}$是右边结点的集合，$E$为边的集合。如果双射$f:L\to R$满足$(1,f(1)),(2,f(2)),\dots ,(n,f(n))$均为$E$中的边，那么我们称其为$G$的一个完美匹配。

对包括二分图在内的任意图$G$，我们定义其邻接矩阵$A_G=(a_{ij}{)}_{n\times n}$如下：若$(i,j^{\prime })\in E$ 则 $a_{ij}=1$，否则 $a_{ij}=0$。不难验证，$\mathrm{perm}(A_G)$的值即是$G$中完美匹配的个数，因为乘积项与双射之间一一对应，而不满足条件的双射所对应的乘积项为零。这样，我们就将积和式的值与二分图完美匹配的个数建立了联系。

与图的圈覆盖的关系

设有向图$G=(V,E)$，$V=\{1,2,\dots ,n\}$为结点集，$E$为边集。$G$的一个圈覆盖定义为$G$中一组不相交的圈的集合，且这些圈覆盖了$V$。由于一个置换可以做环状分解，可以看出一个置换与一个可能的圈覆盖是一一对应的。特别地，$G$的邻接矩阵$A_G$的积和式即是$G$中圈覆盖的数目。

棋

大小為 $n\times n$ 的全 1 永久矩陣是大小為 $n\times n$ 的棋盤上 $n$ 個互不攻擊的車的可能排列數。

积和式的计算复杂性

Valient首先证明了积和式的求值问题是#P完全的，即便矩阵各项的值仅能取0或1。也就是说，任何#P复杂性类中的计数问题都能多项式归约到积和式的求值问题。而户田定理（Toda's theorem）告诉我们$\mathsf{\text{PH}}\subseteq {\mathsf{\text{P}}}^{\mathrm{\#}\mathsf{\text{P}}}$，因此假若能在确定性多项式时间内解决积和式求值问题，那么也能在确定性多项式时间内解决一切属于多项式谱系（$\mathsf{\text{PH}}$）的判定问题，进而导致$\mathsf{\text{P}}=\mathsf{\text{NP}}=\mathsf{\text{PH}}$；计算机科学家普遍相信这是不可能的。可见计算积和式的复杂性远比计算行列式高；后者易用高斯消元等算法在确定性多项式时间内解决。

虽然精确计算积和式很困难，但是的确存在近似计算积和式的高效算法。Jerrum，Sinclair和Vigoda设计出了一种多项式时间内的随机算法，能以任意精度（FPRAS）近似计算非负矩阵的积和式。