牛頓-寇次公式

Template:NoteTA 在數值分析上，梯形法則和辛卜生法則均是數值積分的方法。它們都是計算定積分的。

這兩種方法都屬於牛頓-寇次公式。它們以函數於等距$n+1$點的值，取得一個$n$次的多項式來近似原來的函數，再行求積。

梯形法則

原函數（藍色）近似為紅色的線性函數

多重梯形法則

Template:Main梯形法則是：

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx (b-a)\frac{f(a)+f(b)}{2}.$

這等同將被積函數近似為直線函數，被積的部分近似為梯形。

要求得較準確的數值，可以將要求積的區間分成多個小區間，再個別估計，即：

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx \frac{b-a}{n}(\frac{f(a)+f(b)}{2}+\sum _{k=1}^{n-1}f(a+k\frac{b-a}{n})).$

可改寫成

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx \frac{b-a}{2n}(f(x_0)+2f(x_1)+2f(x_2)+\cdots +2f(x_{n-1})+f(x_n))$

其中

對$k=0,1,\dots ,n$，$x_k=a+k\frac{b-a}{n},$。

辛普森法则

Template:Main 辛普森法则（Simpson's rule，又稱森遜法則）是：

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx \frac{b-a}{6}[f(a)+4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)].$

同樣地，辛普森法则也有多重的版本：

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx \frac{h}{3}\cdot [f(x_0)+2\sum _{k=1}^{n-1}f(x_k)+4\sum _{k=1}^{n}f\left(\frac{x_{k-1}+x_k}{2}\right)+f(x_n)]$

$h=\frac{b-a}{n},x_k=a+k\cdot h.$

或寫成

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx \frac{h}{3}[f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+2f(x_4)+\cdots +4f(x_{n-1})+f(x_n)]$

牛頓-寇次公式

牛頓-寇次公式（Newton-Cotes rule / Newton-Cotes formula）以Roger Cotes和艾薩克·牛頓命名。其內容是：

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx \sum _{i=0}^n{w}_{i}f(x_i)$

其中對$k=0,1,\dots ,n$，$w_i$是常數（由$n$的值決定），$x_k=a+k\frac{b-a}{n}$。

梯形法則和辛卜生法則便是$n=1,2$的情況。

亦有不採用在邊界點來估計的版本，即取 $x_k=a+k\frac{b-a}{n+1}$ 。

原理

• 假設已知$f(x_0),f(x_1),\dots ,f(x_n)$的值。
• 以$n+1$點進行插值，求得對應$f(x)$的拉格朗日多項式。
• 對該$n$次的多項式求積。

該積分便可以作為$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$的近似，而由於該拉格朗日多項式的係數都是常數（由$n$決定其值），所以積函數的係數（即$w_i$）都是常數。

缺點

對於次數較高的多項式而有很大誤差（龍格現象），不如高斯積分法。

例子

下表中$f_i=f(x_i)$，$\xi \in [a,b]$，$h=b-a$

精度	名稱	公式	誤差
1	梯形法則	$\frac{h}{2}(f_0+f_1)$	$-\frac{2h^3}{3}{f}^{(2)}(\xi )$
2	辛卜生法則	$\frac{h}{6}(f_0+4f_1+f_2)$	$-\frac{h^5}{90}{f}^{(4)}(\xi )$
3	辛卜生3/8法則 辛卜生第二法則	$\frac{h}{8}(f_0+3f_1+3f_2+f_3)$	$-\frac{3h^5}{80}{f}^{(4)}(\xi )$
4	保爾法則 （Boole's rule ／ Bode's rule）	$\frac{2h}{45}(7f_0+32f_1+12f_2+32f_3+7f_4)$	$-\frac{8h^7}{945}{f}^{(6)}(\xi )$
不用界點的
0	中點法	$2h{f}_1$	$\frac{h^3}{24}{f}^{(2)}(\xi )$
1		$\frac{3h}{2}(f_1+f_2)$	$\frac{h^3}{4}{f}^{(2)}(\xi )$
2		$\frac{4h}{3}(2f_1-f_2+2f_3)$	$\frac{28h^5}{90}{f}^{(4)}(\xi )$
3		$\frac{5h}{24}(11f_1+f_2+f_3+11f_4)$	$\frac{95h^5}{144}{f}^{(4)}(\xi )$

參考

• M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Section 25.4.)
• George E. Forsythe, Michael A. Malcolm, and Cleve B. Moler. Computer Methods for Mathematical Computations. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1977. (See Section 5.1.)
• William H. Press, Brian P. Flannery, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (See Section 4.1.)
• Josef Stoer and Roland Bulirsch. Introduction to Numerical Analysis. New York: Springer-Verlag, 1980. (See Section 3.1.)

外部連結

• 黃 Sir 的計算機網頁: Numerical Integration : Trapezoidal Rule and Simpson's Rule Template:Wayback