灾难性抵消

Template:Refimprove 在数值分析中，灾难性抵消（Template:Lang-en）是指两个大小相近的数值的近似值相减，得到的差值可能和原始数值相减得到的真实的差值有很大差异，因而近似值的差值不能用作真实值差值的近似值。

例如，如果有两个螺柱，一个长$L_1=254.5\text{cm}$，另一个长$L_2=253.5\text{cm}$，用厘米刻度的尺子测量其长度，得到的近似值为${\tilde{L}}_1=255\text{cm}$和${\tilde{L}}_2=253\text{cm}$。在相对误差方面，它们是真实长度的良好的近似值：近似值的误差小于真实长度的2%，即$|L_1-{\tilde{L}}_1|/|L_1|<2\mathrm{\%}$ 。

但是，如果用这些近似长度相减，则差值为${\tilde{L}}_1-{\tilde{L}}_2=255\text{cm}-253\text{cm}=2\text{cm}$，而长度之间的真实差值是$L_1-L_2=254.5\text{cm}-253.5\text{cm}=1\text{cm}$。用近似值算出的差$2\text{cm}$，和用真实值算出的差$1\text{cm}$相比，偏离了100%。

即使差值计算本身是精确的，灾难性抵消仍然有可能发生，如上例所示——它不是哪种类型的运算（如浮点运算）的属性；当输入值本身是近似值时，进行减法运算就必有灾难性抵消。实际上，根据Template:Link-en，浮点运算中，当输入值足够接近时，浮点差可以精确计算——浮点减法运算本身并未引入捨入誤差。

形式分析

形式上，发生灾难性抵消是因为减法运算对邻近数值的输入是病态的：即使近似值$\tilde{x}=x(1+{\delta }_x)$和$\tilde{y}=y(1+{\delta }_y)$与真实值$x$和$y$ 相比，相对误差$|{\delta }_x|=|x-\tilde{x}|/|x|$和$|{\delta }_y|=|y-\tilde{y}|/|y|$不大，近似值差$\tilde{x}-\tilde{y}$的与真实值差相对误差也会与真实值差$x-y$成反比：

$\begin{array}{cc}\tilde{x}-\tilde{y}& =x(1+{\delta }_x)-y(1+{\delta }_y)=x-y+x{\delta }_x-y{\delta }_y\\ & =x-y+(x-y)\frac{x{\delta }_x-y{\delta }_y}{x-y}\\ & =(x-y)(1+\frac{x{\delta }_x-y{\delta }_y}{x-y})\end{array}$

因此，两个近似值的精确差值$\tilde{x}-\tilde{y}$与真实数字差值$x-y$的相对误差为：

$\left|\frac{x{\delta }_x-y{\delta }_y}{x-y}\right|$

如果真实输入$x$和$y$很接近，结果可能会非常大。