柯西-利普希茨定理

在数学中，柯西-利普希茨定理（Cauchy-Lipschitz Theorem），又称皮卡-林德勒夫定理（Picard-Lindelöf Theorem），保证了一階常微分方程的局部解以至最大解的存在性和唯一性。此定理最早由奧古斯丁·路易·柯西于1820年发表，但直到1868年，才由鲁道夫·利普希茨给出确定的形式。另一个很常见的叫法是皮卡-林德勒夫定理，得名于数学家埃米尔·皮卡和恩斯特·林德勒夫。

局部定理

设Template:Mvar为一个完备的有限维賦範向量空間（即一个巴拿赫空间），Template:Mvar为一个取值在Template:Mvar上的函数：

$\begin{array}{cccc}f:& U\times I& ⟶& E\\ & (x,t)& ⟼& f(x,t)\end{array}$

其中Template:Mvar为Template:Mvar中的一个开集，Template:Mvar是$ℝ$中的一个区间。考虑以下的一阶非线性微分方程：

$\frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t}=f(x(t),t)(1)$

如果Template:Mvar关于Template:Mvar连续，并在Template:Mvar中满足利普希茨条件，也就是说，

$\mathrm{\exists }\kappa >0,\mathrm{\forall }t\in I,\mathrm{\forall }x,y\in U,|f(x,t)-f(y,t)|\le \kappa |x-y|$

那么对于任一给定的初始条件： $x(t_0)=x_0$，其中 $t_0\in I$、$x_0\in U$，微分方程（1）存在一个解 $(J,x(t))$，其中 $J\subset I$ 是一个包含 $t_0$ 的区间，$x(t)$ 是一个从 $J$ 射到 $U$ 的函数，满足初始条件和微分方程（1）。

局部唯一性：在包含点$t_0$的足够小的$J$区间上，微分方程（1）的解是唯一的（或者说，方程所有的解在足够小的区间上都是重叠的）。

这个定理有点像物理学中的决定论思想：当我们知道了一个系统的特性（微分方程）和在某一时刻系统的情况（$x(t_0)=x_0$）时，下一刻的情况是唯一确定的。

局部定理的证明

一个简洁的证明思路为构造一个总是满足初始条件的函数递归序列$y_{n+1}=\mathrm{\Phi }(y_n)$，使得${\mathrm{\Phi }}^{\prime }(y_n)=f(y_n,t)$，这样，如果这个序列有一个收敛点 $y$ ，那么$y$为函数$\mathrm{\Phi }$的不动点，这时就有$y^{\prime }={\mathrm{\Phi }}^{\prime }(y)=f(y,t)$，于是我们构造出了一个解$y$。为此，我们从常数函数

$y_0(t)=x_0$开始。令

$\mathrm{\Phi }(y_i)(t)=x_0+\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}f(y_i(s),s)ds.$

这样构造出来的函数列$(y_i{)}_{i\ge 0}$中的每个函数都满足初始条件。并且由于 $f$ 在 $U$ 中满足利普希茨条件，当区间足够小的时候，$\mathrm{\Phi }$成为一个收缩映射。根据完备空间的不动点存在定理，存在关于$\mathrm{\Phi }$的稳定不动点，于是可知微分方程（1）的解存在。

由于收缩映射的局部稳定不动点只有一个，因此在足够小的区间内解是唯一的。

最大解定理

局部的柯西-利普希茨定理并没有说明在较大区域上解的情况。事实上，对于微分方程（1）的任意解$(J,x(t))$、$(J^{\prime },x^{\prime }(t))$，定义一个序关系：$(J,x(t))$小于$(J^{\prime },x^{\prime }(t))$当且仅当 $J\subset J^{\prime }$，并且$x^{\prime }(t)$在$J$上的值与$x(t)$一样。在这个定义之下，柯西-利普希茨定理断言，微分方程的最大解是唯一存在的。

证明思路

解的唯一性：假设有两个不同的最大解，那么由局部柯西-利普希茨定理可以证明其重叠部分的值相同，将两者不同的部分分别延伸在重叠部分上，则会得到一个更“大”的解（只需验证它满足微分方程），矛盾。因此解唯一。

解的存在性：证明需要用到佐恩引理，构造所有解的并集。

扩展至高阶常微分方程

对于一元的高阶常微分方程

$F(t,y(t),y^{\prime }(t)\cdots y^{(n-1)}(t))=y^{(n)}(t)(2)$，

只需构造向量$Y(t)=(y(t),y^{\prime }(t),\dots ,y^{(n-1)}(t))$和相应的映射$\mathrm{\Phi }$，就可以使得（2）变为$Y^{\prime }(t)=\mathrm{\Phi }(Y(t),t)$。这时的初始条件为$Y(t_0)=Y_0$，即

$\begin{array}{c}y(t_0)=y_0\\ y^{\prime }(t_0)=y_1\\ ⋮\\ y^{(n-1)}(t_0)=y_{n-1}\end{array}$

扩展至偏微分方程

对于偏微分方程，有柯西-利普希茨定理的扩展形式：柯西-克瓦列夫斯基定理，保证了偏微分方程的解的存在性和唯一性。

参见

• 常微分方程
• 柯西-克瓦列夫斯基定理
• 动力系统
• 初值問題
• 利普希茨条件
• 弗罗贝尼乌斯定理
• 皮亚诺存在性定理

参考资料

• 常微分方程（组）基本理论Template:Dead link
• M. E. Lindelöf, Sur l'application de la méthode des approximations successives aux équations différentielles ordinaires du premier ordre; Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Vol. 114, 1894, pp. 454-457. 网上版本可在 -{R|http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3074r/f454.table}- Template:Wayback 找到（文中林德勒夫讨论扩展了皮卡的一个早期证明）

相关链接

• 局部柯西-利普希茨定理的另一个证明，英文 Template:Wayback
• 湖北师范学院数学与统计学院，比较严格的讨论，中文Template:Dead link