本原元定理

在数学中，本原元定理精确刻画了什么时候对于一个域扩张E/F，E可以表示为$F(\alpha )$的形式，即E可以由单个元素生成。

定理

一个有限扩张E/F有本原元，即存在$\alpha$使得$E=F(\alpha )$，当且仅当E和F之间只有有限个中间域。

证明

如果$F$是有限域，由于$E/F$是有限扩张，推得$E$也是有限域。但是由于有限域的乘法群是循环群，任取这个乘法群的一个生成元，$E$可以由这个生成元生成。所以在$F$是有限域的情况下，定理左右两边恒为真。

如果$F$是无限域，但是只有有限个中间域。 先证明一个引理：假设$E=F(\alpha ,\beta )$并且$E$和$F$之间只有有限个中间域，那么存在一个$\gamma \in E$使得$E=F(\gamma )$。引理的证明如下：当$c$取遍$F$的时候，对于每一个$c$可以做一个中间域$F(\alpha +c\beta )$。但是由假设，只有有限个中间域，因此必定存在$c_1,c_2\in F,c_1\ne c_2$使得$F(\alpha +c_1\beta )=F(\alpha +c_2\beta )$。由于$\alpha +c_1\beta ,\alpha +c_2\beta$都在这个域里，推得$(c_1-c_2)\beta$也在这个域里。由于$c_1\ne c_2$，推得$\beta$在这个域里，于是$\alpha$也在这个域里，因此$E=F(\alpha ,\beta )\subseteq F(\alpha +c_1\beta )\subseteq F(\alpha ,\beta )$，于是$E=F(\alpha +c_1\beta )$。引理证毕。

由于有限扩张总是有限生成的，推得$E=F({\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_n)$（对于${\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_n\in E$）。利用归纳法以及引理可以得出，如果$E/F$之间只有有限个中间域，那么$E$可以由单个元素生成。

而如果$E=F(\alpha )$，假设$f(x)=irr(\alpha ,F,x)$是$\alpha$在$F$上的极小多项式，$K$是任意一个中间域，$g_K(x)=irr(\alpha ,K,x)$是$\alpha$在$K$上的极小多项式。显然$g_K(x)|f(x)$。由于域上的多项式环是唯一分解环，$f(x)$只有有限个因子。而对于每一个$g_K(x)|f(x)$，如果$g_K(x)$写作$g_K(x)=\sum _{k=0}^n{c}_i{x}^i$，并令$K_0=F(c_1,c_2,...,c_n)$。显然$K_0$是$K$的一个子域，因此$g_K(x)$在$K_0$上依然是不可约的。而同时$E=F(\alpha )=K(\alpha )=K_0(\alpha )$，因此可以得到$[E:K]=[E:K_0]=deg(g_K)=n$。这样立即推$K_0=K$，于是任何一个中间域$K$对应唯一的一个$f(x)$的因子$g_K$。于是中间域个数小于因子的个数。但因子个数是有限的，因此中间域个数有限。证毕。

推论

• 由于有限可分扩张只有有限个中间域，由本原元定理立刻推出这个扩张有单个生成元

参见

• 可分扩张
• 有限扩张
• 极小多项式

参考文献

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