无穷小应变理论

Template:NoteTA Template:Expand language 无穷小应变理论（infinitesimal strain theory）也稱為无限小应变理论，是连续介质力学中描述固體形變的數學分析法，適用在其形變量遠小於物體尺寸（無窮小量）的情形，因此若是均質材料，可以假設材料每一點的結構性質（密度及剛度）都相等，不會隨變形而不同。

在此假設下，連續介质力學的方程可以簡化。此作法也稱為是小形變理論、小位移理論或小位移梯度理論。无穷小应变理论和有限应变理论的假設恰好相反，後者假設形變量沒有遠小於物體尺寸。

无穷小应变理论常用在土木工程及機械工程中，其中會進行結構的Template:Link-en，而材料是用強度較高的混凝土及钢製成，而結構設計的目標也是在一般結構荷重下，希望其形變量可以降到最小。不過若分析的結構物是較細較薄，較容易變形的元件（例如桿、平板及薄殼），用无限小应变理论來分析就不可靠了。

無穷小應變張量

在連續體的無限小變形中（位移梯度張量遠小於1，也就是$\Vert \mathrm{\nabla }𝐮\Vert \ll 1$），可以用有限應變理論中的任何一個有限應變張量（例如拉格朗日有限應變張量$𝐄$，或是尤拉有限應變張量$𝐞$）進行線性化。在線性化中，可以省略有限應變張量中的二次項或是非線性項，因此可得

$$𝐄=\frac{1}{2}({\mathrm{\nabla }}_{𝐗}𝐮+({\mathrm{\nabla }}_{𝐗}𝐮{)}^T+({\mathrm{\nabla }}_{𝐗}𝐮{)}^T{\mathrm{\nabla }}_{𝐗}𝐮)\approx \frac{1}{2}({\mathrm{\nabla }}_{𝐗}𝐮+({\mathrm{\nabla }}_{𝐗}𝐮{)}^T)$$ 或 $$E_{KL}=\frac{1}{2}(\frac{\partial U_K}{\partial X_L}+\frac{\partial U_L}{\partial X_K}+\frac{\partial U_M}{\partial X_K}\frac{\partial U_M}{\partial X_L})\approx \frac{1}{2}(\frac{\partial U_K}{\partial X_L}+\frac{\partial U_L}{\partial X_K})$$ 以及 $$𝐞=\frac{1}{2}({\mathrm{\nabla }}_{𝐱}𝐮+({\mathrm{\nabla }}_{𝐱}𝐮{)}^T-{\mathrm{\nabla }}_{𝐱}𝐮({\mathrm{\nabla }}_{𝐱}𝐮{)}^T)\approx \frac{1}{2}({\mathrm{\nabla }}_{𝐱}𝐮+({\mathrm{\nabla }}_{𝐱}𝐮{)}^T)$$ 或 $$e_{rs}=\frac{1}{2}(\frac{\partial u_r}{\partial x_s}+\frac{\partial u_s}{\partial x_r}-\frac{\partial u_k}{\partial x_r}\frac{\partial u_k}{\partial x_s})\approx \frac{1}{2}(\frac{\partial u_r}{\partial x_s}+\frac{\partial u_s}{\partial x_r})$$

線性化意味著連續體中特定點的物質坐標（material coordinate）和空間坐標（spatial coordinate）差異很小，拉格朗日描述和尤拉描述近似相等。因此，物質位移梯度張量和空間位移梯度張量的分量也相近相等。可得 $$𝐄\approx 𝐞\approx \mathit{\epsilon }=\frac{1}{2}((\mathrm{\nabla }𝐮{)}^T+\mathrm{\nabla }𝐮)$$ 或 $$E_{KL}\approx e_{rs}\approx {\epsilon }_{ij}=\frac{1}{2}(u_{i,j}+u_{j,i})$$ 其中 ${\epsilon }_{ij}$是無穷小應變張量（也稱為柯西應變張量、線性應變張量、小應變張量）的分量。

$$\begin{array}{cc}{\epsilon }_{ij}& =\frac{1}{2}(u_{i,j}+u_{j,i})\\ & =\left[\begin{array}{ccc}{\epsilon }_{11}& {\epsilon }_{12}& {\epsilon }_{13}\\ {\epsilon }_{21}& {\epsilon }_{22}& {\epsilon }_{23}\\ {\epsilon }_{31}& {\epsilon }_{32}& {\epsilon }_{33}\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial u_1}{\partial x_1}& \frac{1}{2}(\frac{\partial u_1}{\partial x_2}+\frac{\partial u_2}{\partial x_1})& \frac{1}{2}(\frac{\partial u_1}{\partial x_3}+\frac{\partial u_3}{\partial x_1})\\ \frac{1}{2}(\frac{\partial u_2}{\partial x_1}+\frac{\partial u_1}{\partial x_2})& \frac{\partial u_2}{\partial x_2}& \frac{1}{2}(\frac{\partial u_2}{\partial x_3}+\frac{\partial u_3}{\partial x_2})\\ \frac{1}{2}(\frac{\partial u_3}{\partial x_1}+\frac{\partial u_1}{\partial x_3})& \frac{1}{2}(\frac{\partial u_3}{\partial x_2}+\frac{\partial u_2}{\partial x_3})& \frac{\partial u_3}{\partial x_3}\end{array}\right]\end{array}$$ 或者使用不同的表示方式： $$\left[\begin{array}{ccc}{\epsilon }_{xx}& {\epsilon }_{xy}& {\epsilon }_{xz}\\ {\epsilon }_{yx}& {\epsilon }_{yy}& {\epsilon }_{yz}\\ {\epsilon }_{zx}& {\epsilon }_{zy}& {\epsilon }_{zz}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial u_x}{\partial x}& \frac{1}{2}(\frac{\partial u_x}{\partial y}+\frac{\partial u_y}{\partial x})& \frac{1}{2}(\frac{\partial u_x}{\partial z}+\frac{\partial u_z}{\partial x})\\ \frac{1}{2}(\frac{\partial u_y}{\partial x}+\frac{\partial u_x}{\partial y})& \frac{\partial u_y}{\partial y}& \frac{1}{2}(\frac{\partial u_y}{\partial z}+\frac{\partial u_z}{\partial y})\\ \frac{1}{2}(\frac{\partial u_z}{\partial x}+\frac{\partial u_x}{\partial z})& \frac{1}{2}(\frac{\partial u_z}{\partial y}+\frac{\partial u_y}{\partial z})& \frac{\partial u_z}{\partial z}\end{array}\right]$$

進一步來說，因為形變梯度可以表示成$𝑭=\mathrm{\nabla }𝐮+𝑰$ 其中$𝑰$是二階單位張量，可得 $$\mathit{\epsilon }=\frac{1}{2}({𝑭}^T+𝑭)-𝑰$$

另外，根據拉格朗日有限應變張量及尤拉有限應變張量的通用表示法，可得 $$\begin{array}{cc}{𝐄}_{(m)}& =\frac{1}{2m}({𝐔}^{2m}-𝑰)=\frac{1}{2m}[({𝑭}^T𝑭{)}^m-𝑰]\approx \frac{1}{2m}[\{\mathrm{\nabla }𝐮+(\mathrm{\nabla }𝐮{)}^T+𝑰{\}}^m-𝑰]\approx \mathit{\epsilon }\\ {𝐞}_{(m)}& =\frac{1}{2m}({𝐕}^{2m}-𝑰)=\frac{1}{2m}[(𝑭{𝑭}^T{)}^m-𝑰]\approx \mathit{\epsilon }\end{array}$$

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