拉梅函数

Lame function Maple animation plot

拉梅函数(Lame functions)是下列拉梅方程的解:

雅可比形式

$\frac{d^{2}w}{d{z}^2}+(A+v(v+1)k^{2}s{n}^2(z,k))w=0$+ 此拉梅方程的正则奇点在复数平面的$2pK+(2q+1)\ast i{K}^{\prime }$ 其中 p,q ∈Z,K代表模数为k的完全椭圆积分，K'代表模数为$k^{\prime }=\sqrt{1-k^2}$的完全椭圆积分。

其中 k,v 都是实数，并且 $0<k<1$,

代数形式

作雅可比橢圓函數变数替换$s=s{n}^2(z,k)$得拉梅方程的代数形式：

$\frac{d^2\Lambda }{d{s}^2}+\frac{1}{2}\ast (\frac{1}{2}+\frac{1}{s-1}+\frac{1}{s-h})\ast \frac{d\Lambda }{ds}-\frac{n(n+1)s+H}{4s(s-1)(s-h)}\ast \Lambda =0$

$h=k^{-2}=\frac{a^2-c^2}{a^2-b^2}$,

$H=hA$

$h>1$ 此傅克型方程有四个正则奇点$0,1,h,\mathrm{\infty }$

魏尔斯特拉斯形式

$\frac{d^2\Lambda }{d{z}^2}+[H-n(n+1)\mathrm{\wp }(z)]\Lambda =0$

其中$\mathrm{\wp }$是魏尔斯特拉斯函数

三角函数形式

在雅可比形式的拉梅方程中做代换 $snz=cos\zeta$

$\zeta =\frac{1}{2}\pi -amz$

可得

$[1-(kcos\zeta {)}^2]\frac{d^2\Lambda }{d{\Lambda }^2}$$+k^{2}cos\zeta \sin \zeta \frac{d\Lambda }{d\zeta }+[h-n(n+1)(kcos\zeta {)}^2]\Lambda =0$

在上列方程组 $h,k,n$等是实数或复数常数，而各变量为复数。

拉梅方程的本征值

对于给定的参数v,k,存在四套实数本征值h,令拉梅方程的奇数解或偶数解有2K或4K周期。

本征值 h	奇偶	周期
$a_v^{2m}(k^2)$	偶	2K
$a_v^{2m+1}(k^2)$	奇	4K
$b_v^{2m}(k^2)$	偶	4K
$b_v^{2m+1}(k^2)$	奇	2K

拉梅函数

与每一个本征值对应的本征函数，称为v阶拉梅函数，其记法及周期性列表于下：

本征值 h	奇偶	周期	本征函数(拉梅函数)
$a_v^{2m}(k^2)$	偶	2K	$E{c}_v^{2m}(z,k^2)$
$a_v^{2m+1}(k^2)$	奇	4K	$E{c}_v^{2m+1}(z,k^2)$
$b_v^{2m}(k^2)$	偶	4K	$E{s}_v^{2m+1}(z,k^2)$
$b_v^{2m+1}(k^2)$	奇	2K	$E{s}_v^{2m+2}(z,k^2)$

其中$2m,2m+1,2m+2$代表在（0,2K)区间内的零点数。

拉梅函数是Heun函数的特例

Heun方程 $gh:=\frac{d^2(y(z)}{d{z}^2}+(\frac{\gamma }{z}+\frac{\delta }{z-1}+\frac{ϵ}{z-a})\ast \frac{d(y(z)}{dz}+(\alpha \ast \beta \ast z-q)\ast y(z)/(z\ast (z-1)\ast (z-a))=0$

令=$\gamma =1/2,\delta =1/2,ϵ=1/2,q=-(1/4)\ast a\ast h,\alpha =1/4,\beta =-v(v+1)$

则化为拉梅方程

$\frac{d^2(y(z)}{d{z}^2}+(1/2\ast (1/z+1/(z-1)+1/(z-a)))\ast \frac{d(y(z)}{dz}+(1/4)\ast (a\ast h-\nu \ast (\nu +1)\ast z)\ast y(z)/(z\ast (z-1)\ast (z-a))=0$

拉梅方程的Heun函数解

由于拉梅方程式是Heun方程的特例，因此拉梅方程可以用HeunG函数表示 $y(z){=}_{C}1\ast HeunG(a,-(1/4)\ast a\ast h,-(1/2)\ast \nu ,(1/2)\ast \nu +1/2,1/2,1/2,z)$

${+}_{C}2\ast \sqrt{(}z)\ast HeunG(a,1/4+(1/4\ast (-h+1))\ast a,1+(1/2)\ast \nu ,1/2-(1/2)\ast \nu ,3/2,1/2,z)$ 其中二个HeunG函数是线性无关的。

拉梅函数的幂级数展开

拉梅函数可以展开成幂级数形式

$y(z)=\sum _{v=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_v\ast z^{\rho +v}$

其中$\rho$只能取$0,1/2$

例子

$y(z)=1.2+2.3\ast \sqrt{(}z)-.600\ast h\ast z-(.383\ast (a\ast h-1.\ast a-1.))\ast z^{(}3/2)/a+(0.500e-1\ast (-4.\ast a\ast h-4.\ast h+a\ast h^2+2.\ast {\nu }^2+2.\ast \nu ))\ast z^2/a+(0.192e-1\ast (-10.\ast a^2\ast h+9.\ast a^2+6.\ast a-10.\ast a\ast h+9.+a^2\ast h^2+6.\ast \nu \ast a+6.\ast {\nu }^2\ast a))\ast z^{(}5/2)/a^2+O(z^3)$

参考文献

• 王竹溪 郭敦仁 《特殊函数概论》 北京大学出版 2000
• Whittaker and Watson, A Course of Modern Analysis 1920， Cambridge University Press
• Erdelyi, Higher Transcendental Functions Vol III