快樂數

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Template:NoteTA 快樂數有以下的特性：在給定的進位制下，該數字所有數字平方和（數位的平方和），得到的新數再次求所有數位的平方和，如此重複進行，最終結果必為1。

以十進位為例：

2 8 → Template:計算結果 → Template:計算結果 → Template:計算結果
3 2 → Template:計算結果 → Template:計算結果 → Template:計算結果
3 7 → Template:計算結果 → Template:計算結果 → Template:計算結果 → Template:計算結果 → Template:計算結果 → Template:計算結果 → Template:計算結果 → Template:計算結果......
5 6 → Template:計算結果 → Template:計算結果 → Template:計算結果 → Template:計算結果 → Template:計算結果 → Template:計算結果 → Template:計算結果 → Template:計算結果 → Template:計算結果 → Template:計算結果......

因此28和32是快樂數，而在37和56的計算過程中，數字會重複出現，繼續計算的結果只會是上述數字的循環（不快樂數循環），不會出現1，因此37和56不是快樂數。

不是快樂數的數稱為不快樂數（Template:Lang-en），所有不快樂數的數位平方和計算，最後都會進入 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 的循環中。

在十進位下，100以內的快樂數有Template:OEIS：1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100，共20個。

快樂數表格

以下是小於100的快樂數表格，Template:Green表示它是快樂數，Template:Red表示它是不快樂數循環。

00 Template:Green 02 03 Template:Red 05 06 Template:Green 08 09
Template:Green 11 12 Template:Green 14 15 Template:Red 17 18 Template:Green
Template:Red 21 22 Template:Green 24 25 26 27 Template:Green 29
30 Template:Green Template:Green 33 34 35 36 Template:Red 38 39
40 41 Template:Red 43 Template:Green 45 46 47 48 Template:Green
50 51 52 53 54 55 56 57 Template:Red 59
60 61 62 63 64 65 66 67 Template:Green 69
Template:Green 71 72 73 74 75 76 77 78 Template:Green
80 81 Template:Green 83 84 85 Template:Green 87 88 Template:Red
90 Template:Green 92 93 Template:Green 95 96 Template:Green 98 99

以下是100到小於200的快樂數表格，Template:Green表示它是快樂數，Template:Red表示它是不快樂數循環。

Template:Green 101 102 Template:Green 104 105 106 107 108 Template:Green
110 111 112 113 114 115 116 117 118 119
120 121 122 123 124 125 126 127 128 Template:Green
Template:Green 131 132 Template:Green 134 135 136 137 138 Template:Green
140 141 142 143 144 Template:Red 146 147 148 149
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159
160 161 162 163 164 165 166 Template:Green 168 169
170 171 172 173 174 175 Template:Green 177 178 179
180 181 182 183 184 185 186 187 Template:Green 189
Template:Green 191 Template:Green Template:Green 194 195 196 197 198 199

以下是200到小於300的快樂數表格，Template:Green表示它是快樂數。

200 201 202 Template:Green 204 205 206 207 Template:Green 209
210 211 212 213 214 215 216 217 218 Template:Green
220 221 222 223 224 225 Template:Green 227 228 229
Template:Green 231 232 233 234 235 Template:Green 237 238 Template:Green
240 241 242 243 244 245 246 247 248 249
250 251 252 253 254 255 256 257 258 259
260 261 Template:Green Template:Green 264 265 266 267 268 269
270 271 272 273 274 275 276 277 278 279
Template:Green 281 282 283 284 285 286 287 288 289
290 Template:Green 292 Template:Green 294 295 296 297 298 299

300以內的快樂數沒有其中一位是5，300以內的數其中有一位是5，它一定不是快樂數。

以下是300到小於400的快樂數表格，Template:Green表示它是快樂數。

300 Template:Green Template:Green 303 304 305 306 307 308 309
Template:Green 311 312 Template:Green 314 315 316 317 318 Template:Green
Template:Green 321 322 323 324 325 Template:Green 327 328 Template:Green
330 Template:Green 332 333 334 335 336 337 Template:Green 339
340 341 342 343 344 345 346 347 348 349
350 351 352 353 354 355 Template:Green 357 358 359
360 361 Template:Green 363 364 Template:Green 366 Template:Green Template:Green 369
370 371 372 373 374 375 Template:Green 377 378 Template:Green
380 381 382 Template:Green 384 385 Template:Green 387 388 389
390 Template:Green Template:Green 393 394 395 396 Template:Green 398 399

發現10*10、100*100等表格的快樂數表格有線對稱。

快樂數的因數

以下是300以內的快樂數因數。

快樂數 因數 因數個數 奇偶數 數字和
1 1 1 奇數 1
7 1、7 2 奇數 7
10 1、2、5、10 4 偶數 1
13 1、13 2 奇數 4
19 1、19 2 奇數 10
23 1、23 2 奇數 5
28 1、2、4、7、14、28 6 偶數 10
31 1、31 2 奇數 4
32 1、2、4、8、16、32 6 偶數 5
44 1、2、4、11、22、44 6 偶數 8
49 1、7、49 3 奇數 13
68 1、2、4、17、34、68 6 偶數 14
70 1、2、5、7、10、14、35、70 8 偶數 7
79 1、79 2 奇數 16
82 1、2、41、82 4 偶數 10
86 1、2、43、86 4 偶數 14
91 1、7、13、91 4 奇數 10
94 1、2、47、94 4 偶數 13
97 1、97 2 奇數 16
100 1、2、4、5、10、20、25、50、100 9 偶數 1
103 1、103 2 奇數 4
109 1、109 2 奇數 10
129 1、3、43、129 4 奇數 12
130 1、2、5、10、13、26、65、130 8 偶數 4
133 1、7、19、133 4 奇數 7
139 1、139 2 奇數 13
167 1、167 2 奇數 14
176 1、2、4、8、11、16、22、44、88、176 10 偶數 14
188 1、2、4、47、94、188 6 偶數 17
190 1、2、5、10、19、38、95、190 8 偶數 10
192 1、2、3、4、6、8、12、16、24、32、48、64、96、192 14 偶數 12
193 1、193 2 奇數 13
203 1、7、29、203 4 奇數 5
208 1、2、4、8、13、16、26、52、104、208 10 偶數 10
219 1、3、73、219 4 奇數 12
226 1、2、113、226 4 偶數 10
230 1、2、5、10、23、46、115、230 8 偶數 5
236 1、2、4、59、118、236 6 偶數 11
239 1、239 2 奇數 14
262 1、2、131、262 4 偶數 10
263 1、263 2 奇數 11
280 1、2、4、5、7、8、10、14、20、28、35、40、56、70、140、280 16 偶數 10
291 1、3、97、291 4 奇數 12
293 1、293 2 奇數 14

由表格可知：

  • 128以內快樂數沒有因數3、6、9等數，如果128以內的數是3的倍數等，它一定不是快樂數。
  • 1000以內快樂數沒有因數9、15、18、21等數，如果1000以內的數是9的倍數等，它一定不是快樂數。
  • 1000以內快樂數同樣也沒有能被25整除但不能被100整除，即尾數是（25、50或75的數），如果1000以內的數是25的倍數但不是100的倍數，它一定不是快樂數。
  • 1000以內的快樂數有143個，只有7個是3的倍數，129、192、219、291、888、912、921，機率:5%。
  • 1000以內的快樂數有143個，有其中一位是5的只有12個，356、365、536、556、563、565、566、635、653、655、656、665，機率:8%。
  • 1000以內的快樂數有143個，只有3個是25的倍數，100、700、1000，機率:2%。

快樂質數

在十進位下，300以內的快樂質數有Template:OEIS：7, 13, 19, 23, 31, 79, 97, 103, 109, 139, 167, 193, 239, 263, 293，共15個。

快樂完全數

已知的51個完全數，只有3個是快樂數：28、496、8128。

其他進制的快樂數

  • 三進制：1, 3, 9, 13, 17, 23, 25, 27, 31, 35, 37, 39, 47, 51, 53, 59, 61, 65, 69, 71, 73, 75, 77, 79, 81, 85, 89, 91, 93 Template:OEIS
  • 五進制：1, 5, 7, 11, 19, 23, 25, 27, 33, 35, 41, 43, 49, 51, 55, 79, 81, 83, 91, 93, 95, 99 Template:OEIS
  • 任何進制（最小快樂數且大於1）：2, 3, 2, 5, 6, 7, 8, 3, 7, 11, 12, 13, 14, 15, 2, 17, 2, 5, 2, 21, 22, 23, 24, 5, 26, 27, 28, 3, 2, 31, 32, 33, 3, 35, 6, 31, 38, 39, 40, 13, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 7, 50, 51, 52, 31, 54, 53, 56, 57, 58, 59, 54, 61, 62, 63, 8, 65, 66, 67, 12, 69, 70, 71, 72

Template:OEIS

其他进制的不快樂數循環

  • 2进制
    • 每個數都是快樂數
  • 3进制
    • 2 → 11 → 2
      在十进制中為2 → 4 → 2
  • 4进制
    • 每個數都是快樂數
  • 5进制
    • 4 → 31 →20 → 4
      在十进制中為4 → 16 → 10 → 4
    • 23 → 23
      在十进制中為13 → 13
  • 6进制
    • 5 → 41 → 25 → 45 → 105 → 42 → 32 → 21 → 5
      在十进制中為5 → 25 → 17 → 29 → 41 → 26 → 20 → 13 → 5
  • 7进制
    • 2 → 4 → 22 → 11 → 2
      在十进制中為2 → 4 → 16 → 8 → 2
    • 34 → 34
      在十进制中為25 → 25
  • 8进制
    • 4 → 20 → 4
      在十进制中為4 → 16 → 4
    • 5 → 31 → 12 → 5
      在十进制中為5 → 25 → 10 → 5
    • 32 → 15 → 32
      在十进制中為26 → 13 → 26
  • 9进制
    • 58 → 108 → 72 → 58
      在十进制中為53 → 89 → 65 → 53
    • 55 → 55
      在十进制中為50 → 50
  • 10进制
    • 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4
  • 11进制
    • 75 → 68 → 91 → 75
      在十进制中為82 → 74 → 100 → 82
    • 23 → 12 → 5 → 23
      在十进制中為25 → 13 → 5 → 25
  • 12进制
    • 22 → 8 → 54 → 35 → 2A → 88 → A8 → 118 → 56 → 51 → 22
      在十进制中為26 → 8 → 64 → 41 → 34 → 104 → 128 → 164 → 66 → 61 → 26
    • 21 → 5 → 21
      在十进制中為25 → 5 → 25
  • 13进制
    • 79 → A0 → 79
      在十进制中為100 → 130 → 100
    • 36 → 36
      在十进制中為45 → 45
    • B2 → 98 → B2
      在十进制中為145 → 125 → 145
    • 67 → 67
      在十进制中為85 → 85
    • 14 → 14
      在十进制中為17 → 17
  • 16进制
    • D → A9 → B5 → 92 → 55 → 32 → D
      在十进制中為13 → 169 → 181 → 146 → 85 → 50 → 13

其他性質

  • 快樂數加入數字0或交換的數也是快樂數，不快樂數的情況也是。例如：49是快樂數，94、4900也是快樂數；123不是快樂數，321、10203、123000也不是快樂數
  • 通过检查十进制中前一百万个快乐数，它们的自然密度似乎约为0.15。十进制快乐数也许没有渐近密度。快乐数的自然密度上限大于0.18577，下限小于0.1138。[1]
  • 十進位不快樂數的循環只有一個，是 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 。

Python程式碼

#ishappy number

def ishappy(n):
    a = []
    while n not in a:
        a.append(n)
        n = sum([int(x) **2 for x in str(n)])
        
    return 'happy' if n == 1 else 'unhappy'

相關條目

外部連結

  1. ↑ Template:Cite journal
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