度数矩阵

在数学领域图论中，无向图的度数矩阵（Template:Lang-en）是一个对角矩阵 ，其中包含的信息为的每一个顶点的度数，也就是每个顶点相邻的边数。 它可以和邻接矩阵一起使用以构造图的拉普拉斯算子矩阵（拉普拉斯矩阵是度数矩阵和邻接矩阵的差值）。

定义

给定一个图 $G=(V,E)$ 与 $|V|=n$， $G$的度数矩阵 $D$是一个 $n\times n$的对角线矩阵，其定义为

$d_{i,j}:=\{\begin{array}{cc}\mathrm{deg}(v_i)& \text{if}i=j\\ 0& \text{otherwise}\end{array}$

其中度数 $\mathrm{deg}(v_i)$为这个顶点上的边的条数。 在无向图中，这意味着每个环会使得度数增加2。 在有向图中，术语“度”可以指“入度”（indegree，终点在这个顶点的边的条数）或“出度”（ outdegree，起点在这个顶点的边的条数）。

例子

下面的无向图有一个6x6的度数矩阵，其数值为。

Vertex labeled graph	度数矩阵
	$\left(\begin{array}{cccccc}4& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 3& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 2& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 3& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 3& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

注意，对于无向图而言，开始和结束于同一节点的边（即环，如上图中的节点1）会使相应的度增加2（即被计算两次）。

性质

一个k-正则图的度数矩阵是恒为$k$的对角线矩阵。

根据度的总和公式，度数矩阵的迹是对应图的边数的两倍。