圓錐坐標系

圓錐坐標系的幾個坐標曲面。紅色圓球面的 $r=2$ 。錐軸為 z-軸的藍色圓錐面的 $\mu =\cosh (1)$ 。錐軸為 x-軸的黃色圓錐面 ${\nu }^2=2/3$ 。z-軸是垂直的，以白色表示。 x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點 P （以黑色的圓球表示），直角坐標大約為 $(1.26,-0.78,1.34)$ 。

圓錐坐標系（Template:Lang-en）是一種三維正交坐標系。它的三個坐標曲面分別為同心圓球面，錐軸為 x-軸的圓錐面，錐軸為 z-軸的圓錐面。

基本定義

圓錐坐標 $(r,\mu ,\nu )$ 通常定義為

$x=\frac{r\mu \nu }{bc}$ 、

$y=\frac{r}{b}\sqrt{\frac{({\mu }^2-b^2)({\nu }^2-b^2)}{(b^2-c^2)}}$ 、

$z=\frac{r}{c}\sqrt{\frac{({\mu }^2-c^2)({\nu }^2-c^2)}{(c^2-b^2)}}$ ；

其中，$0\le r<\inf$ ，${\nu }^2<c^2<{\mu }^2<b^2$ 。

坐標曲面

$r$ 坐標曲面是圓心在原點的圓球面：

$x^2+y^2+z^2=r^2$ 。

$\mu$ 與 $\nu$ 坐標曲面是兩個相交的圓錐面：

$\frac{x^2}{{\mu }^2}+\frac{y^2}{{\mu }^2-b^2}+\frac{z^2}{{\mu }^2-c^2}=0$ 、

$\frac{x^2}{{\nu }^2}+\frac{y^2}{{\nu }^2-b^2}+\frac{z^2}{{\nu }^2-c^2}=0$ 。

標度因子

如同球坐標系，徑向坐標 $r$ 的標度因子是

$h_r=1$ 。

坐標$\mu$ 與 $\nu$ 的標度因子分別是

$h_{\mu }=r\sqrt{\frac{{\mu }^2-{\nu }^2}{(b^2-{\mu }^2)({\mu }^2-c^2)}}$ 、

$h_{\nu }=r\sqrt{\frac{{\mu }^2-{\nu }^2}{(b^2-{\nu }^2)(c^2-{\nu }^2)}}$ 。

參考目錄

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