哈密頓量 (最佳控制)

最优控制中的哈密頓量（Hamiltonian）是由列夫·庞特里亚金所發展，是庞特里亚金最小化原理的一部份。哈密頓量的概念是由古典力學中的哈密顿力学所引發，但兩者是不同的概念。庞特里亚金證明了求解最优控制問題的必要條件，就是要選擇可使哈密頓量最小化的控制輸入。細節可參考庞特里亚金最小化原理。

問題的敘述

最佳控制的問題，是要選擇控制輸入$u(t)$，使以下的目標函數有最小值

$J(u)=\mathrm{\Psi }(x(T))+\underset{0}{\overset{T}{\int }}L(x,u,t)dt$

其中$x(t)$為系統狀態，滿足狀態方程式

$\dot{x}=f(x,u,t)x(0)=x_{0}t\in [0,T]$

控制需滿足以下的限制條件

$a\le u(t)\le bt\in [0,T]$

哈密頓量的定義

$H(x,\lambda ,u,t)={\lambda }^T(t)f(x,u,t)+L(x,u,t)$

其中$\lambda (t)$為協態變數組成的向量，其維度和狀態變數$x(t)$相同。

若要進一步瞭解哈密頓量的性質，可參考庞特里亚金最小化原理。

離散時間下的哈密頓量

若問題是在離散時間下，其哈密頓量定義為：

$H(x,\lambda ,u,t)={\lambda }^T(t+1)f(x,u,t)+L(x,u,t)$

而協態方程為

$\lambda (t+1)=-\frac{\partial H}{\partial x}+\lambda (t)$

（注意此處提到，離散哈密頓量在時間$t$的值和協態變數在時間$t+1$的值有關。這個小差異很重要，在對$x$微分後，可以在協態方程右邊得到和$\lambda (t+1)$有關的算式。若寫法有誤，所得的協態方程不是後向的差分方程，會帶來錯誤的結果。）

控制哈密頓量和力學哈密頓量的比較

威廉·哈密頓定義力學中的哈密頓量為三個變數的函數：

$\mathscr{H}=\mathscr{H}(p,q,t)=⟨p,\dot{q}⟩-L(q,\dot{q},t)$

其中$\dot{q}$定義如下

$p=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$

哈密頓再將方程改為

$\frac{d}{dt}p(t)=-\frac{\partial }{\partial q}\mathscr{H}$

$\frac{d}{dt}q(t)=\frac{\partial }{\partial p}\mathscr{H}$

最佳控制中的哈密頓量則是四個變數的函數：

$H(q,u,p,t)=⟨p,\dot{q}⟩-L(q,u,t)$

其要有最大值的相關條件為

$\frac{dp}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial q}$

$\frac{dq}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p}$

$\frac{\partial H}{\partial u}=0$

上述定義和Sussmann及Willems論文所提的一致。Sussmann及Willems證明了控制哈密頓量可以用在動力學上，例如最速降線問題，不過沒有提到康斯坦丁·卡拉西奥多里較早時期在此領域的貢獻。

外部連結

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