克爾度規

Template:NoteTA 廣義相對論中，克爾度規（Template:Lang-en）或稱克爾真空（Template:Lang-en），描述的一旋轉、球對稱之質量龐大物體（例如：黑洞）週遭真空區域的時空幾何。其為Template:Le，故又稱克爾解；廣義相對論的主導方程式——愛因斯坦場方程式是非線性的，找出其精確解是相當困難的任務。

克爾度規是史瓦西度規（1915年）的推廣，後者用以描述靜態不旋轉、球對稱且不帶電荷的龐大物體週遭真空區域的時空幾何。在有帶電荷的情形，史瓦西度規轉成萊斯納-諾德斯特洛姆度規（1916年–1918年）。Template:Le和Template:Le曾使用弱场近似方法得到过旋转轴对称球状物体度规的近似解。直到在1963年方由羅伊·克爾提出精確解。，但他并没有给出推导过程。1973年Schiffer等人给出了克尔度规的推导。

克爾度規的帶電荷版本為克爾-紐曼度規（1965年），以上四個相關的解可整理為如下表格：

	不旋轉 (J = 0)	旋轉 (J ≠ 0)
不帶電荷 (Q = 0)	史瓦西度規	克爾度規
帶電荷 (Q ≠ 0)	萊斯納-諾德斯特洛姆度規	克爾-紐曼度規

其中Q代表物體所帶電荷，而J代表物體的自轉角動量。

克尔度规的数学表示

若以波以耳-林德奎斯特座標寫出克爾真空解，則為：

$\mathrm{d}{s}^2=-(1-\frac{2Mr}{\mathrm{\Sigma }})\mathrm{d}{t}^2-\frac{4aMr{\sin }^2\theta }{\mathrm{\Sigma }}\mathrm{d}t\mathrm{d}\varphi +\frac{\mathrm{\Sigma }}{\mathrm{\Delta }}\mathrm{d}{r}^2$

$+\mathrm{\Sigma }\mathrm{d}{\theta }^2+(\mathrm{\Delta }+\frac{2Mr(r^2+a^2)}{\mathrm{\Sigma }}){\sin }^2\theta \mathrm{d}{\varphi }^2$

其中

$\mathrm{\Sigma }=r^2+a^2{\cos }^2\theta$,

$\mathrm{\Delta }=r^2-2Mr+a^2$,

• M為旋轉物體質量；
• a為自轉參數（spin parameter）或稱特定角動量（specific angular momentum），描述此物體的旋轉，與角動量J有關，關係式為a = J/M；
• 所有的物理量採用幾何單位：c=G=1。

當自轉參數a值為零，則表示物體無旋轉，克爾度規退化成史瓦西度規。a=M的例子對應到最大旋轉程度的質量物體。

注意到：

• 一般而言，波以耳-林德奎斯特徑向座標 r 並無簡單而直接、如同徑向座標般的詮釋。
• 「最大」旋轉程度指的是一黑洞可以存在的最大a值，而非旋轉質量物體可以具有的最大a值。

參看

• 史瓦西度規（Schwarzschild metric）
• 克爾-紐曼度規（Kerr-Newman metric）
• 萊斯納-諾德斯特洛姆度規（Reissner-Nordström metric）

延伸閱讀

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• Template:Cite book See chapter 19 for a readable introduction at the advanced undergraduate level.
• Template:Cite book See chapters 6--10 for a very thorough study at the advanced graduate level.
• Template:Cite book See chapter 13 for the Chandrasekhar/Ferrari CPW model.
• Template:Cite book See chapter 7.
• Template:Cite arXiv Characterization of three standard families of vacuum solutions as noted above.
• Template:Cite journalarXiv eprint Template:Wayback Gives the relativistic multipole moments for the Ernst vacuums (plus the electrogmagnetic and gravitational relativistic multipole moments for the charged generalization).
• Template:Cite book
• "The Classical Theory of Fields", L.D. Landau, E.M. Lifshitz, Fourth revised English edition, Elsevier, Amsterdam ... London, New York ... Tokyo, 1975 (based on B. Carter, 1968).
• B. Carter, Phys. Rev. Lett. 26, 331, 1971