传播子

在量子力學以及量子场论中的传播子（propagator；核子，kernel），是描述粒子在特定時間由一處移動到另一處的機率幅，或是粒子以特定能量及動量移動的機率幅。传播子也是场的运动方程的格林函数。物理学家使用核子计算费曼图以及散射过程的概率。

量子力学

自由粒子（波包）的核子是

$K(x,x^{\prime };t)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}dk{e}^{ik(x-x^{\prime })}{e}^{-i\hslash k^{2}t/(2m)}={\left(\frac{m}{2\pi i\hslash t}\right)}^{1/2}{e}^{-m(x-x^{\prime }{)}^2/(2i\hslash t)}.$

量子諧振子的Template:Internal link helper/en

$K(x,x^{\prime };t)={\left(\frac{m\omega }{2\pi i\hslash \sin \omega t}\right)}^{1/2}\exp (-\frac{m\omega ((x^2+x{\text{'}}^2)\cos \omega t-2x{x}^{\prime })}{2i\hslash \sin \omega t}).$

通过泛函积分，核子等于

$K(x,x^{\prime };t,t^{\prime })=\int Dx(t)\exp (i\underset{t}{\overset{t^{\prime }}{\int }}L(x,\dot{x};t)dt)$

$x(t)=x,x(t^{\prime })=x^{\prime }$

L是拉氏量。

量子场论

克莱因-戈尔登方程

克戈场论（Klein-Gordon）的Feynman传播子

${\tilde{G}}_F(p)=\frac{1}{p^2-m^2+iϵ}.$

据黄教授说，这是

$G_{\mathrm{F}}(x,y)=\underset{ϵ\to 0}{\lim }\frac{1}{(2\pi {)}^4}\int d^{4}p\frac{e^{-ip(x-y)}}{p^2-m^2+iϵ}=\{\begin{array}{cc}-\frac{1}{4\pi }\delta (s)+\frac{m}{8\pi \sqrt{s}}{H}_1^{(1)}(m\sqrt{s})& \text{ if }s\ge 0\\ -\frac{im}{4{\pi }^2\sqrt{-s}}{K}_1(m\sqrt{-s})& \text{if}s<0.\end{array}$

H是汉克尔函数，K是贝塞尔函数，δ是狄拉克δ函数，$s^2=x^{\mu }{x}_{\mu }$。

Feynman传播子使用下面的曲线积分（contour integral，留数定理）

Feynman传播子也等于下面的真空期望值：

$G_F(x-y)=-i⟨0|T\varphi (x)\varphi (y)|0⟩$

$=-i⟨0|\theta (x^0-y^0)\varphi (x)\varphi (y)+\theta (y^0-x^0)\varphi (y)\varphi (x)|0⟩$

上面T是路径排序算子，$\theta$是单位阶跃函数。

狄拉克方程

${\tilde{S}}_F(p)=\frac{1}{{\gamma }^{\mu }{p}_{\mu }-m+iϵ}=\frac{1}{p/-m+iϵ}.$

$S_F(x-y)=\int \frac{d^{4}p}{(2\pi {)}^4}{e}^{-ip\cdot (x-y)}\frac{({\gamma }^{\mu }{p}_{\mu }+m)}{p^2-m^2+iϵ}=(\frac{{\gamma }^{\mu }(x-y{)}_{\mu }}{|x-y{|}^5}+\frac{m}{|x-y{|}^3})J_1(m|x-y|).$

传播子也是格林函数

$S_F(x-y)=(i\partial /+m)G_F(x-y)$

这描述费米子、电子。

量子电动力学和其他杨-米尔斯场论

Template:Main 光子传播子是

$\frac{-i{g}^{\mu \nu }}{p^2+iϵ}.$

$\frac{g_{\mu \nu }-k_{\mu }{k}_{\nu }/m^2}{k^2-m^2+iϵ}+\frac{k_{\mu }{k}_{\nu }/m^2}{k^2-m^2/\lambda +iϵ}.$

$D_{\mu \nu }(k)=\frac{-i}{k^2+iϵ}(g_{\mu \nu }-(1-\xi )\frac{k_{\mu }{k}_{\nu }}{k^2})$

也阅读FP鬼子，给予膠子传播子或杨米尔斯传播子：

$⟨A_{\mu }^a(x)A_{\nu }^b(y)⟩=D_{\mu \nu }(x-y{)}^{ab}=\int \frac{d^{4}k}{(2\pi {)}^4}\frac{-i{e}^{-ik(x-y)}}{k^2+iϵ}{\delta }^{ab}(g_{\mu \nu }-(1-\xi )\frac{k_{\mu }{k}_{\nu }}{k^2})$

选择$\xi$ 需要规范固定。

引力子

重力子的传播子是

$G_{abcd}(k)=\frac{g_{ac}{g}_{bd}+g_{bc}{g}_{ad}-g_{ab}{g}_{cd}}{k^2}$

相关条目

• 量子场论
• 格林函数
• 路径积分表述
• 费恩曼图

阅读

• Feynman Hibbs. Path integrals.
• Peskin Schroeder. Intro QFT.
• Huang. QFT.
• -{R|https://web.physics.ucsb.edu/~mark/ms-qft-DRAFT.pdf}- Template:Wayback Template:Wayback（Srendiecki QFT）
• 徐一鸿 Anthony Zee. QFT in Nutshell.