代數同態

在A和B兩個K-多元環之間的同態是指一個函數$F:A\to B$，此函數能使得對所有在K內的k和在A內的x、y來說，

• F(kx) = kF(x)

• F(x + y) = F(x) + F(y)

• F(xy) = F(x)F(y)

若F是双射的，則F稱為是A和B之間的同構。

例子

令A=K[x]為在一個體K上的所有多項式所組成的集合，且B為一個在K上所有多項式函數所組成的集合，則A跟B兩個都會是在K上分別由標準的多項式和函數的乘法及加法所構成的代數。可以將每個在A內的$f$以$\hat{f}(t)=f(t)$的方式映射至於B內的$\hat{f}$。很簡單便可以知道這個映射$f\to \hat{f}$會是一個A和B兩個代數之間的同態。若K是一個有限體的話，則可令

$p(x)={\mathrm{\Pi }}_{t\in K}(x-t).$

其中p是一個在K[x]內的非零多項式。但對所有在K內的t，$p(t)=0$，所以其映射$\hat{p}=0$都會是一個零值函數，這兩個代數因此不會是同構的。

若K是無限的，則令$\hat{f}=0$。接下來要證明這會使得$f=0$。設$deg(f)=n$和$t_0,t_1,\dots ,t_n$為K內n+1個不同的元素，則對$0\le i\le n$都會有$f(t_i)=0$。再利用拉格朗日插值便能得到$f=0$。因此映射$f\to \hat{f}$是單射的，故而有一個在A和B之間的同構。