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在[[範疇論]]中，兩個範疇間的[[函子]]具有範疇結構，其中的對象是函子，而態射則為[[自然變換]]。函子範疇的重要在於： …\mathcal{D}</math>為任意範疇。<math>\mathcal{C} \to \mathcal{D}</math>的函子構成一個範疇，其對象為函子，態射為自然變換（注意到自然變換可以合成），此範疇稱為'''函子範疇'''，記為<math>\mathrm{Fct}(\mathcal{C},… …

在'''範疇論'''中，若一個範疇<math>I</math>滿足下列條件，則稱它是'''濾子化'''的（{{lang|en|filtrant}}或{{lang|en * 對任意對象<math>i,j \in I</math>，存在對象<math>k \in I</math>及態射<math>i \rightarrow k, j \rightarrow k</math>。 …

在[[抽象代數]]及[[範疇論]]中，'''子商'''（{{lang-en|Subquotient}}）是很常用的概念。這是子結構（例如子群、子模、子表示）與商結構（例如商群、商模、 …th>。若 <math>\mathcal{C}</math> 中的對象 <math>X</math> 能表成某對象 <math>Y</math> 的子對象之商，則稱 <math>X</math> 為 <math>Y</math> 的'''子商'''。在[[群論|群]]與[[阿貝爾範疇]]的框架下皆可定義子 …

在[[範疇論]]中，'''2-範疇'''是帶有「態射之間的態射」之範疇。可以形式地定之為在 '''Cat'''（範疇及其間[[函子]]組成的[[張量範疇]]，其張量 * 由'''0維胞腔'''（或'''對象'''）組成的類，以大寫[[羅馬字母]]表之。 …

…ory}}）或'''序数范畴'''（{{lang|en|ordinal category}}）是[[范畴论]]中用来定义[[单纯集合|单纯]]与余单纯对象的一个构造。 …<math>\Delta</math>，有时也写成 '''Ord'''。这个范畴有多个等价的描述。<math>\Delta</math> 可以描述为对象为有限序数（视为[[全序集]]），[[态射]]为保序函数范畴。这个范畴由余面映射与余退化映射生成，对应于插入或删去顺序中的元素，这些映射的关系参见[[单 …

在[[範疇論]]中，'''雙積'''是[[直積]]在[[預加法範疇]]中的推廣，它同時是範疇論意義下的[[積 (範疇論)|積]]與[[上積]]。 …A, B</math> 間的態射集 <math>\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,B)</math> 是[[交換群]]。給定有限個對象 <math>A_1, \ldots, A_n</math>，假設有： …

在[[同調代數]]中，'''內射對象'''與'''投射對象'''是[[內射模]]與[[投射模]]在[[阿貝爾範疇]]中的推廣，二者的定義相對偶。以下固定一個[[阿貝爾範疇]] <math>\mathcal{C} …th>\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(P, -)</math> 為[[正合函子]]，則稱 <math>P</math> 為'''投射對象'''。 …

…hrm{Y}_c</math>完全且忠實地嵌入'''Set'''值預層<math>\hat{C}</math>，它將<math>C</math>的每個對象<math>A</math>送到態射函子<math>C(-,A)</math>。 …

在[[範疇論]]中，一個'''可加範疇'''是一個存在有限[[雙積]]的[[預加法範疇]]。舊文獻所謂的「可加範疇」有時指[[預可加範疇]]，在當代理論中則傾向於區 首先注意到空雙積存在，稱為[[零對象]]，記作<math>0</math>；它同時是範疇中的[[始對象]]與[[終對象]]。 …

|1=zh-cn:數學對象;zh-tw:數學物件; …'，而[[群]]''G''的自同态则是[[群同态]]ƒ:&nbsp;''G''&nbsp;→&nbsp;''G''，等等。一般地，我们可以讨论任何[[范畴论|范畴]]中的自同态，在[[集合范畴]]中，自同态就是从集合''S''到它本身的函数。 …

{{about|範疇之間的運算|範疇內物件的運算|積 (範疇論)}} [[數學]]分支[[範疇論]]中，兩個[[範疇 (數學)|範疇]]<math>\mathcal {C, D}</math>之'''積'''，是[[集合 (數學)|集合]]的[[笛 …

在[[範疇論]]中，'''正合函子'''（或譯作'''恰當函子'''）是保存有限[[極限 (範疇論)|極限]]的[[函子]]。在[[阿貝爾範疇]]中，這就相當於保存[[正合序列]]的函子。 此外，若對每個短正合序列 <math>0 \to X' \to X \to X'' \to 0</math>，其像截去尾端零對象後 <math>0 \to F(X') \to F(X) \to F(X'')</math> 為正合序列，則稱 <math>F</math> 是'''左 …

…'''（或'''[[直积]]'''）的概念提取了集合的笛卡儿积、群的积、环的积、拓扑空间的积等概念的共性。本质上讲，一组对象的积是到这些对象都有态射的对象中最具代表性的。 …sub>i</sub>'' : ''X'' &rarr; ''X_i''（''i'' &isin; ''I''）为一组态射：对任意对象''Y''及其到''X_i''的一组态射''f_i''，存在唯一的态射''f'' : ''Y'' &rarr; …

在[[範疇論]]中，一個'''預可加範疇'''是使得任兩個對象間的態射集<math>\mathrm{Hom}(A,B)</math>帶有[[交換群]]結構，並使得態射合成為[[双线性映射|雙線性]]運算之範疇。 …/math>，我們可以定義'''<math>k</math>-預可加範疇'''為在<math>k</math>-模的么半範疇上濃化的範疇，即：使任兩個對象間的態射集<math>\mathrm{Hom}(A,B)</math>為<math>k</math>-模，並使態射合成為<math>k</math>上的 …

…[[態射]]間的複合）得以保持。因此可以將自然變換視為「函子間的態射」。這一看法其實也能形式化，定義出[[函子範疇]]。自然變換與範疇及函子一樣，都是範疇論很基本的概念。 …'之間的[[函子]]。一個從''F''到''G'' 的'''自然變換'''η，對''C''中每個[[對象 (範疇論)|對象]]，給出一個在''D''的對象間的[[態射]]{{nobreak|1=η_''X'' : ''F''(''X'') → ''G''(''X'')}}，稱為η在'' …

在[[數學]]的[[拓撲學]]領域中，'''同倫範疇'''是處理[[同倫]]問題時格外便利的[[範疇論]]語言。它的對象是[[拓撲空間]]，態射是[[連續映射|連續函數]]的同倫類，這是[[商範疇]]的一個例子；由於同倫關係在映射的合成下不變，同倫範疇的定義是明確的。所有 我們可以考慮帶點空間構成的範疇，其對象為 <math>(X,x)</math>（<math>x \in X</math>），態射 <math>f: (X,x) \to (Y,y)</math …

…)|範疇─理論積]]即是群的[[直積]]；而其{{link-en|餘積|Coproduct}}則是群的[[自由積]]。這個範疇的[[始对象和终对象|零對象]]則是[[當然群]]，也就是只包含單位元的群。 {{範疇論}} …

…轉換。[[米田引理]]和{{Le|米切尔嵌入定理|Mitchell's embedding theorem}}等一些普遍結論說明此種轉換為何成立。这种范畴论的方法（尤其是對米田引理的運用）由[[亚历山大·格罗滕迪克|格罗滕迪克]]提出，通常被称为'''点函子'''方法（{{lang-en|the metho …值点的集合随着''T''而[[自然变换]]，从而产生''A''的“点[[函子]]”；根据[[米田引理]]，这可以将''A''完全确定为'''C'''的对象。 …

…个不同[[范畴论|范畴]]的[[对象 (范畴论)|对象]]，它们是范畴'''CHey'''，locales的范畴'''Loc'''，它的[[对偶性 (范畴论)|对偶]]frames的范畴'''Frm'''。 …

…在这个范畴 ''C'' 中 ''G'' 的一个表示是从 ''G'' 到 ''C'' 的一个[[函子]]。这样一个函子选出 ''C'' 的一个对象和这个对象的[[自同构]]的一个[[子群]]。例如，一个 ''G''-几何等价于从 ''G'' 到[[集合范畴]] '''Set''' 的一个函子，而线性表示等价 …