福特-富尔克森算法

福特-富尔克森方法（Template:Lang-en），又稱福特-富尔克森算法（Template:Lang），是一类计算网络流的最大流的贪心算法。之所以称之为“方法”而不是“算法”，是因为它寻找增广路径的方式并不是完全确定的，而是有几种不同时间复杂度的实现方式。它在1956年由小萊斯特·倫道夫·福特及德爾伯特·雷·富爾克森发表。“福特-富尔克森”这个名词通常也指代埃德蒙兹-卡普算法，这是一个特殊的福特-富尔克森算法实现。

算法的思想如下：只要有一条从源点（开始节点）到汇点（结束节点）的路径，在路径的所有边上都有可用容量，就沿着这条路径发送一个流，流量由路径上的最小容量限制。 然后再找到另一条路径，一直到网络中不存在这种路径为止。 一条有可用容量的路径被称为一条增广路径。

算法

设$G(V,E)$为一个图，并且为每条从$u$到$v$的边$(u,v)$设置一个最大流量$c(u,v)$，并且初始化当前流量$f(u,v)=0$。下面是该算法每一步的实现：

容量限制:	$\mathrm{\forall }(u,v)\in E,f(u,v)\le c(u,v)$	每条边上的流都不能超出边的最大流量。
反向对称:	$\mathrm{\forall }(u,v)\in E,f(u,v)=-f(v,u)$	从$u$到$v$的流量一定是从$v$到$u$的流量的相反数（见样例）。
流量守恒:	$\mathrm{\forall }u\in V:u\ne s,u\ne t\Rightarrow \sum _{w\in V}f(u,w)=0$	除非$u$是源点$s$或汇点$t$，一个节点的净流量为零。
f的值:	$\sum _{(s,u)\in E}f(s,u)=\sum _{(v,t)\in E}f(v,t)$	从源点$s$流出的流量一定等于汇点$t$接收的流量。

这意味着每轮计算之后通过网络的都是一个流。我们定义残留网络 $G_f(V,E_f)$是一个网络的剩余流量$c_f(u,v)=c(u,v)-f(u,v)$。注意残留网络可以设置从$v$到$u$的流量，即使在原先的网络中不允许这种情况产生：如果 $c(v,u)=0$ 但 $f(u,v)>0$，那么$c_f(v,u)=c(v,u)-f(v,u)=f(u,v)>0$：也即，从$u$到$v$的流量给从$v$到$u$的流量提供了额外的剩余量。

伪代码

算法 福特-富尔克森

输入 给定一张边的容量为$c$的图$G=(V,E)$，源点$s$以及汇点$t$。

输出 在网络$G$中，从$s$到$t$的最大流$f$。

1. 初始化网络流量$f\leftarrow 0$、残留网络$G_f\leftarrow G$。对于图的每一条边$(u,v)$，初始化流量$f(u,v)\leftarrow 0$。
2. 只要$G_f$中还存在一条从$s$到$t$的路径$p$，使对于每一条边$(u,v)\in p$，都有$c_f(u,v)>0$：
   1. 设置路径$p$本次应发送的流量为路径最小剩余流量：$c_f(p)\leftarrow \underset{(u,v)\in p}{\min }{c}_f(u,v)$。
   2. 更新网络流量$f\leftarrow f+c_f(p)$。
   3. 对于每一条边$(u,v)\in p$，更新$G_f$的剩余流量：
      1. $f(u,v)\leftarrow f(u,v)+c_f(p)$ （在路径中“发送”流）
      2. $f(v,u)\leftarrow f(v,u)-c_f(p)$ （这个流在之后可以被“发送”回来）

步骤2中的路径$p$可以用广度优先搜索或深度优先搜索在$G_f(V,E_f)$中找到。如果使用了广度优先搜索，这个算法就是Edmonds–Karp算法。

当步骤2中找不到可行路径时，$s$就无法在残留网络中到达$t$。设$S$是在残留网络中$s$可以到达的节点的集合，然后从$S$到$V$的其余部分的网络一方面等于我们找到的从$s$到$t$的所有流的总流量，另一方面所有这样的流量组成了一个上限。这说明我们找到的流是最大的。参见最大流最小割定理。

如果图$G(V,E)$有多个源点和汇点，可以按如下方法处理：设$T=\{t|t\text{为 目 标 点 }\}$，$S=\{s|s\text{为 源 点 }\}$。 添加一个新源点$s^{*}$与所有源点有一条边$(s^{*},s)$相连，容量$c(s^{*},s)=d_s(d_s=\sum _{(s,u)\in E}c(s,u))$。添加一个新汇点$t^{*}$与所有汇点$(t,t^{*})$ 有一条边相连，容量$c(t,t^{*})=d_t(d_t=\sum _{(v,t)\in E}c(v,t))$。然后执行福特-富尔克森算法。

同样的，如果节点$u$有通过限制$d_u$，可将这个节点用两个节点$u_{in},u_{out}$替换，用一条边$(u_{in},u_{out})$相连，容量为$c(u_{in},u_{out})=d_u$。然后执行福特-富尔克森算法。

复杂度

算法通过添加找到的增广路径的流量增加总流量，当无法找到增广路径时，总流量就达到了最大。当流量是整数时，福特-富尔克森算法的运行时间为$O(Ef)$（参见大O符号）, $E$图中的边数，$f$为最大流。 这是因为一条增广路径可以在$O(E)$的时间复杂度内找到，每轮算法执行后流量的增长至少为$1$。但是在极端情况下，算法有可能永远不会停止。

福特-富尔克森算法的一个特例是埃德蒙兹-卡普算法，时间复杂度为$O(V{E}^2)$。

样例

下面的样例演示了福特-富尔克森在一张有4个节点，源点为$A$，汇点为$D$的图中的第一轮计算。 这个例子显示了算法在最坏情况下的行为。在每一轮算法中，只有$1$的流量被发送至网络中。如果算法改用宽度优先搜索，那么只需要两轮计算。

路径	容量	网络
原流
$A,B,C,D$	$\begin{array}{cc}& \min (c_f(A,B),c_f(B,C),c_f(C,D))\\ =& \min (c(A,B)-f(A,B),c(B,C)-f(B,C),c(C,D)-f(C,D))\\ =& \min (1000-0,1-0,1000-0)=1\end{array}$
$A,C,B,D$	$\begin{array}{cc}& \min (c_f(A,C),c_f(C,B),c_f(B,D))\\ =& \min (c(A,C)-f(A,C),c(C,B)-f(C,B),c(B,D)-f(B,D))\\ =& \min (1000-0,0-(-1),1000-0)=1\end{array}$
1998轮之后…
最终流

注意当找到路径$A,C,B,D$时，流是如何从$C$发送至$B$的。

无法终止算法的样例

右图所示的网络中源点为$s$，汇点为$t$边$e_1$、$e_2$、$e_3$的容量为$1$, $r=(\sqrt{5}-1)/2$和$1$，使$r^2=1-r$。其它所有边的容量$M\ge 2$。 使用福特-富尔克森算法可找到三条增广路径，分别为$p_1=\{s,v_4,v_3,v_2,v_1,t\}$、$p_2=\{s,v_2,v_3,v_4,t\}$、$p_3=\{s,v_1,v_2,v_3,t\}$.

步骤	增广路径	发送流	剩余容量
			$e_1$	$e_2$	$e_3$
0			$r^0=1$	$r$	$1$
1	$\{s,v_2,v_3,t\}$	$1$	$r^0$	$r^1$	$0$
2	$p_1$	$r^1$	$r^2$	$0$	$r^1$
3	$p_2$	$r^1$	$r^2$	$r^1$	$0$
4	$p_1$	$r^2$	$0$	$r^3$	$r^2$
5	$p_3$	$r^2$	$r^2$	$r^3$	$0$

注意在步骤1和步骤5之后,边$e_1$、$e_2$、$e_3$的残留容量都可以表示为$r^n$、$r^{n+1}$或$0$，同时，对于一些特殊的$n\in \mathbb{N}$这意味着算法可以通过$p_1$、$p_2$、$p_1$与 $p_3$无限增广，并且残留容量总处于一个循环。在步骤5之后网络的流为$1+2(r^1+r^2)$，如果继续用以上的算法增广，总的流将向$1+2{\sum }_{i=1}^{\mathrm{\infty }}{r}^i=3+2r$趋近，但最大流为$2M+1$。在这个样例中，算法将永远不会停止，且结果也不会向实际的最大流趋近。

Python源码

class Edge(object):
    def __init__(self, u, v, w):
        self.source = u
        self.sink = v  
        self.capacity = w
    def __repr__(self):
        return "%s->%s:%s" % (self.source, self.sink, self.capacity)

class FlowNetwork(object):
    def __init__(self):
        self.adj = {}
        self.flow = {}
 
    def add_vertex(self, vertex):
        self.adj[vertex] = []
 
    def get_edges(self, v):
        return self.adj[v]
 
    def add_edge(self, u, v, w=0):
        if u == v:
            raise ValueError("u == v")
        edge = Edge(u,v,w)
        redge = Edge(v,u,0)
        edge.redge = redge
        redge.redge = edge
        self.adj[u].append(edge)
        self.adj[v].append(redge)
        self.flow[edge] = 0
        self.flow[redge] = 0
 
    def find_path(self, source, sink, path):
        if source == sink:
            return path
        for edge in self.get_edges(source):
            residual = edge.capacity - self.flow[edge]
            if residual > 0 and edge not in path:
                result = self.find_path( edge.sink, sink, path + [edge]) 
                if result != None:
                    return result
 
    def max_flow(self, source, sink):
        path = self.find_path(source, sink, [])
        while path != None:
            residuals = [edge.capacity - self.flow[edge] for edge in path]
            flow = min(residuals)
            for edge in path:
                self.flow[edge] += flow
                self.flow[edge.redge] -= flow
            path = self.find_path(source, sink, [])
        return sum(self.flow[edge] for edge in self.get_edges(source))

使用样例

>>> g = FlowNetwork()
>>> [g.add_vertex(v) for v in "sopqrt"]
[None, None, None, None, None, None]
>>>
>>> g.add_edge('s','o',3)
>>> g.add_edge('s','p',3)
>>> g.add_edge('o','p',2)
>>> g.add_edge('o','q',3)
>>> g.add_edge('p','r',2)
>>> g.add_edge('r','t',3)
>>> g.add_edge('q','r',4)
>>> g.add_edge('q','t',2)
>>> print (g.max_flow('s','t'))
5

应用

二分图的最大匹配

最大不相交路径

参考文献

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