达朗贝尔方程

在经典电动力学中，将描述电磁波的势所满足的一个微分方程组称作达朗贝尔方程（英文：d'Alembert equation）。达朗贝尔方程以数学家让·勒朗·达朗贝尔的名字命名，他于 1747 年将其作为振动弦问题的解决方案推导出来。

达朗贝尔方程是一个Template:Le的波动方程。

形式

达朗贝尔方程的形式如下：

${\mathrm{\nabla }}^2𝑨-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2𝑨}{\partial t^2}=-{\mu }_0𝑱$

${\mathrm{\nabla }}^2\phi -\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\phi }{\partial t^2}=-\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$

其中$𝑨$为磁矢势，$\phi$为电势，$c$为真空光速。

推导

经典电动力学中的麦克斯韦方程组如下所示

$\mathrm{\nabla }\times 𝑬=-\frac{\partial 𝑩}{\partial t}$

$\mathrm{\nabla }\times 𝑯=\frac{\partial 𝑫}{\partial t}+𝑱$

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝑫=\rho$

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝑩=0$

且有$𝑫={\epsilon }_0𝑬,𝑩={\mu }_0𝑯$。

由$𝑩$的无源性可以引入磁矢势$𝑨$，有$𝑩=\mathrm{\nabla }\times 𝑨$，代入麦克斯韦方程组的第一式得$\mathrm{\nabla }\times (𝑬+\frac{\partial 𝑨}{\partial t})=0$。这说明矢量$𝑬+\frac{\partial 𝑨}{\partial t}$是无旋场，可以用标量势$\phi$的负梯度描述：

$𝑬+\frac{\partial 𝑨}{\partial t}=-\mathrm{\nabla }\phi$

也即$𝑬=-\mathrm{\nabla }\phi -\frac{\partial 𝑨}{\partial t}$。

因此

$\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times 𝑨)={\mu }_0𝑱-{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial }{\partial t}\left(\mathrm{\nabla }\phi \right)-{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{{\partial }^2𝑨}{\partial t^2}$

$-{\mathrm{\nabla }}^2\phi -\frac{\partial }{\partial t}(\mathrm{\nabla }\cdot 𝑨)=\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$

而${\mu }_0{\epsilon }_0=\frac{1}{c^2}$，代入并整理得

${\mathrm{\nabla }}^2𝑨-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2𝑨}{\partial t^2}-\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝑨+\frac{1}{c^2}\frac{\partial \phi }{\partial t})=-{\mu }_0𝑱$

${\mathrm{\nabla }}^2\phi +\frac{\partial }{\partial t}(\mathrm{\nabla }\cdot 𝑨)=-\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$

采用洛伦茨规范，即$\mathrm{\nabla }\cdot 𝑨+\frac{1}{c^2}\frac{\partial \phi }{\partial t}=0$，可得

${\mathrm{\nabla }}^2𝑨-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2𝑨}{\partial t^2}=-{\mu }_0𝑱$

${\mathrm{\nabla }}^2\phi -\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\phi }{\partial t^2}=-\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$

此即达朗贝尔方程，其自由项为电流密度和电荷密度。