瓦特曲線

瓦特曲線是指一個六次方程的平面代數曲線，也是Template:Le。是由二個半徑為b ，圓心之間距離為2a（分別在(±a, 0)）的圓所產生，一個長為2c的線段，兩端點分別在二圓上，其線段中間的軌跡即為瓦特曲線，此曲線和詹姆斯·瓦特在蒸汽機上的貢獻有關。

瓦特曲線的方程式可以寫為以下的极坐标系方程

r^{2} = b^{2} - {[a \sin θ \pm \sqrt{c^{2} - a^{2} \cos^{2} θ}]}^{2} .

推導

极坐标系方程可以用下式推導^[1]：在複數平面上，令二圓的圓心為a和−a，二圓連線的端點為−a+be^{i λ}和a+be^{i ρ}。令線段相對水平線的斜角ψ，其中點為re^{i θ}，則二端點也可表示為re^{i θ} ± ce^{i ψ}。二端點的二種表示式可得：

a + b e^{i ρ} = r e^{i θ} + c e^{i ψ} .

- a + b e^{i λ} = r e^{i θ} - c e^{i ψ}

二式相加再除二可得

r e^{i θ} = \frac{b}{2} (e^{i ρ} + e^{i λ}) = b \cos (\frac{ρ - λ}{2}) e^{i \frac{ρ + λ}{2}} .

比較半徑及幅角可得

r = b \cos α, θ = \frac{ρ + λ}{2} where α = \frac{ρ - λ}{2} .

一開始的二式相減再除二可得

c e^{i ψ} - a = \frac{b}{2} (e^{i ρ} - e^{i λ}) = i b \sin α e^{i θ} .

將a以下式表示

a = a \cos θ e^{i θ} - i a \sin θ e^{i θ} .

因此

c e^{i ψ} = i b \sin α e^{i θ} + a \cos θ e^{i θ} - i a \sin θ e^{i θ} = (a \cos θ + i (b \sin α - a \sin θ)) e^{i θ},

c^{2} = a^{2} \cos^{2} θ + (b \sin α - a \sin θ)^{2},

b \sin α = a \sin θ \pm \sqrt{c^{2} - a^{2} \cos^{2} θ},

r^{2} = b^{2} \cos^{2} α = b^{2} - b^{2} \sin^{2} α = b^{2} - {[a \sin θ \pm \sqrt{c^{2} - a^{2} \cos^{2} θ}]}^{2} .,

將極座標方式展開可得

r^{2} = b^{2} - (a^{2} \sin^{2} θ + c^{2} - a^{2} \cos^{2} θ \pm 2 a \sin θ \sqrt{c^{2} - a^{2} \cos^{2} θ}),

r^{2} - a^{2} - b^{2} + c^{2} + 2 a^{2} \sin^{2} θ = \pm 2 a \sin θ \sqrt{c^{2} - a^{2} \cos^{2} θ}),

(r^{2} - a^{2} - b^{2} + c^{2})^{2} + 4 a^{2} (r^{2} - a^{2} - b^{2} + c^{2}) \sin^{2} θ + 4 a^{4} \sin^{4} θ = 4 a^{2} \sin^{2} θ (c^{2} - a^{2} \cos^{2} θ),

(r^{2} - a^{2} - b^{2} + c^{2})^{2} + 4 a^{2} (r^{2} - b^{2}) \sin^{2} θ = 0,

(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2} - a^{2} - b^{2} + c^{2})^{2} + 4 a^{2} y^{2} (x^{2} + y^{2} - b^{2}) = 0 .

令d ²=a²+b²–c² 因此可簡化上式為: $(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2} - d^{2})^{2} + 4 a^{2} y^{2} (x^{2} + y^{2} - b^{2}) = 0 .$

當曲線通過原點時，原點為拐點，因此有3階接觸切線。不過若a²=b²+<c²，則有5階接觸切線，換句話說此曲線相當接近直線，這就是Template:Le可以作為直線運動機構的原理。