Talbot曲线

Tschirnhausen立方曲線$y^2=x^3+3x^2.$

Tschirnhausen立方曲線，Template:Math

Talbot曲线也稱為切恩豪斯立方曲線，為一平面曲線，極坐標方程式如下

$r=a{\sec }^3(\theta /3).$

Talbot曲线是 n = −1/3的Template:Le。

歷史

埃伦弗里德·瓦尔特·冯·切恩豪斯、紀堯姆·德·洛必達及歐仁·查爾斯·加泰羅尼亞都曾研究此曲線。在R C Archibald於1900年發表的論文中將此稱為切恩豪斯立方曲線，不過也稱為洛必達立方曲線（de L'Hôpital's cubic）或加泰羅尼亞三等分角线（trisectrix of Catalan）。

其他方程式

令$t=\tan (\theta /3)$，再應用棣莫弗公式可得

$x=a\cos \theta {\sec }^3\frac{\theta }{3}=a({\cos }^3\frac{\theta }{3}-3\cos \frac{\theta }{3}{\sin }^2\frac{\theta }{3}){\sec }^3\frac{\theta }{3}$

$=a(1-3{\tan }^2\frac{\theta }{3})=a(1-3t^2)$

$y=a\sin \theta {\sec }^3\frac{\theta }{3}=a(3{\cos }^2\frac{\theta }{3}\sin \frac{\theta }{3}-{\sin }^3\frac{\theta }{3}){\sec }^3\frac{\theta }{3}$

$=a(3\tan \frac{\theta }{3}-{\tan }^3\frac{\theta }{3})=at(3-t^2)$

可以得到此曲線的參數式。參數t可以消去，得到以下方程式

$27a{y}^2=(a-x)(8a+x{)}^2$.

若此參數式水平平移8a，方程式會變成

$x=3a(3-t^2)$

$y=at(3-t^2)$

或

$x^3=9a(x^2-3y^2)$.

因此可以得到另一個極坐標方程式

$r=9a(\sec \theta -3\sec \theta {\tan }^2\theta )$.

參考資料

• J. D. Lawrence, A Catalog of Special Plane Curves. New York: Dover, 1972, pp. 87-90.

外部連結

• Template:MathWorld
• "Tschirnhaus' Cubic" at MacTutor History of Mathematics ArchiveTemplate:Wayback
• "Cubique de Tschirnhausen" at Encyclopédie des Formes Mathématiques RemarquablesTemplate:Wayback (in French)