等效位能

等效位能是將許多效應綜合成單一位能的數學表達式。在古典力學中，等效位能即為離心力位能與位能的和。等效位能常被用來計算行星的軌道及半古典的原子計算，可用來降低問題的維度。

定義

等效位能 $U_{\text{eff}}$ 可定義如下：

$U_{\text{eff}}(𝐫)=\frac{L^2}{2m{r}^2}+U(𝐫)$

L 為角動量。

r 為兩物體之距離。

m 為繞行物體之質量。

U(r) 為位能。

等效力，也就是等效位能的梯度取負號則為：

$\begin{array}{cc}{𝐅}_{\text{eff}}& =-\mathrm{\nabla }{U}_{\text{eff}}(𝐫)\\ & =\frac{L^2}{m{r}^3}\widehat{𝐫}-\mathrm{\nabla }U(𝐫)\end{array}$

其中 $\widehat{𝐫}$ 為r方向的單位向量。

特性

等效位能有許多有用的特性：

$U_{\text{eff}}\le E$

要找到一個圓形軌道的半徑，我們只要將等效位能對r取最小值，或是找$r_0$使總力為0：

$\frac{d{U}_{\text{eff}}}{dr}=0$

在解出$r_0$後，代回$U_{\text{eff}}$以求等效位能之最大值$U_{\text{eff}}^{\text{max}}$。

也可求得微小振盪之頻率：

$\omega =\sqrt{\frac{{U_{\text{eff}}}^{″}}{m}}$

其中角分符號代表對r的微分。

例子：重力位能

以質量為m的小天體繞行質量為M的大天體為例，並假設M遠大於m。在牛頓力學中，大天體的運動可被忽略，且能量E及角動量L守恆：

$E=\frac{1}{2}m({\dot{r}}^2+r^2{\dot{\varphi }}^2)-\frac{GmM}{r},$

$L=m{r}^2\dot{\varphi }$

其中

$\dot{r}$ 為r對時間的微分，

$\dot{\varphi }$ 為小天體之角速度，

G 為重力常數。

因為整個運動發生在一平面，所以我們只需要兩個變數r及$\varphi$。將第二個式子代回第一個式子，整理之後可得

$m{\dot{r}}^2=2E-\frac{L^2}{m{r}^2}+\frac{2GmM}{r}=2E-\frac{1}{r^2}(\frac{L^2}{m}-2GmMr),$

$\frac{1}{2}m{\dot{r}}^2=E-U_{\text{eff}}(r),$

其中

$U_{\text{eff}}(r)=\frac{L^2}{2m{r}^2}-\frac{GmM}{r}$

即為等效位能。 如同上式所述，原問題的兩個變數被化簡成單變數的問題。在許多應用中，等效位能可視為一維系統的位能，譬如說用等效位能來決定轉折點及穩定平衡區。類似的方法可用來決定廣義相對論中史瓦西度規的軌道。

参考资料

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