初值定理

在数学分析中，初值定理是将时间趋于零时的頻域表达式与時域行为建立联系的定理。

它简称为IVT。

令

$F(s)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)e^{-st}dt$

为 ƒ(t) 的（单边）拉普拉斯变换。初值定理表明

$\underset{t\to 0}{\lim }f(t)=\underset{s\to \mathrm{\infty }}{\lim }sF(s).$

证明

基于导数的拉普拉斯变换，我们有：

$sF(s)=f(0^{-})+\underset{t=0^{-}}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-st}{f}^{\text{'}}(t)dt$

因此：

$\underset{s\to \mathrm{\infty }}{\lim }sF(s)=\underset{s\to \mathrm{\infty }}{\lim }[f(0^{-})+\underset{t=0^{-}}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-st}{f}^{\text{'}}(t)dt]$

但在 t=0⁻ 到 t=0⁺ 之间，$\underset{s\to \mathrm{\infty }}{\lim }{e}^{-st}$ 是不确定的；为了避免这种情况，可以通过对两段区间分别积分求得：

$\underset{s\to \mathrm{\infty }}{\lim }[\underset{t=0^{-}}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-st}{f}^{\text{'}}(t)dt]=\underset{s\to \mathrm{\infty }}{\lim }\{\underset{ϵ\to 0^{+}}{\lim }[\underset{t=0^{-}}{\overset{ϵ}{\int }}{e}^{-st}{f}^{\text{'}}(t)dt]+\underset{ϵ\to 0^{+}}{\lim }[\underset{t=ϵ}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-st}{f}^{\text{'}}(t)dt]\}$

在第一个表达式中 0⁻<t<0⁺, e^−st=1。在第二个表达式中，可以交换积分和取极限的次序。同时在 0⁺<t<∞ 时 $\underset{s\to \mathrm{\infty }}{\lim }{e}^{-st}(t)$ 为零。故：

$\begin{array}{cc}\underset{s\to \mathrm{\infty }}{\lim }[\underset{t=0^{-}}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-st}{f}^{\text{'}}(t)dt]& =\underset{s\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left\{\underset{ϵ\to 0^{+}}{\lim }[\underset{t=0^{-}}{\overset{ϵ}{\int }}{f}^{\text{'}}(t)dt]\right\}+\underset{ϵ\to 0^{+}}{\lim }\left\{\underset{t=ϵ}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{s\to \mathrm{\infty }}{\lim }[e^{-st}{f}^{\text{'}}(t)dt]\right\}\\ & =f(t){|}_{t=0^{-}}^{t=0^{+}}+0\\ & =f(0^{+})-f(0^{-})+0\\ \end{array}$

通过用这个结果在主方程中进行代换就得到：

$\underset{s\to \mathrm{\infty }}{\lim }sF(s)=f(0^{-})+f(0^{+})-f(0^{-})=f(0^{+})$

参见

• 终值定理