Tanc函数

Tanc 函数 定义如下^[1]

Tanc (z) = \frac{\tan (z)}{z}

虚域虚部

$Im (\frac{\tan (x + i y)}{x + i y})$

虚域实部

$Re (\frac{\tan (x + i y)}{x + i y})$

绝对值

$| \frac{\tan (x + i y)}{x + i y} |$

一阶导数

$\frac{1 - \tan (z))^{2}}{z} - \frac{\tan (z)}{z^{2}}$

导数实部

$- Re (- \frac{1 - (\tan (x + i y))^{2}}{x + i y} + \frac{\tan (x + i y)}{(x + i y)^{2}})$

导数虚部

$- Im (- \frac{1 - (\tan (x + i y))^{2}}{x + i y} + \frac{\tan (x + i y)}{(x + i y)^{2}})$

导数绝对值

$| - \frac{1 - (\tan (x + i y))^{2}}{x + i y} + \frac{\tan (x + i y)}{(x + i y)^{2}} |$

与其他特殊函数的关系

$Tanc (z) = \frac{2 i K u m m e r M (1, 2, 2 i z)}{(2 z + π) K u m m e r M (1, 2, i (2 z + π))}$

$Tanc (z) = \frac{2 i 𝐻 𝑒 𝑢 𝑛 𝐵 (2, 0, 0, 0, \sqrt{2} \sqrt{i z})}{(2 z + π) 𝐻 𝑒 𝑢 𝑛 𝐵 (2, 0, 0, 0, \sqrt{2} \sqrt{1 / 2 i (2 z + π)})}$

$Tanc (z) = \frac{W h i t t a k e r M (0, 1 / 2, 2 i z)}{W h i t t a k e r M (0, 1 / 2, i (2 z + π)) z}$

级数展开

Tanc z \approx (1 + \frac{1}{3} z^{2} + \frac{2}{15} z^{4} + \frac{17}{315} z^{6} + \frac{62}{2835} z^{8} + \frac{1382}{155925} z^{10} + \frac{21844}{6081075} z^{12} + \frac{929569}{638512875} z^{14} + O (z^{16}))

$\int_{0}^{z} \frac{\tan (x)}{x} d x = (z + \frac{1}{9} z^{3} + \frac{2}{75} z^{5} + \frac{17}{2205} z^{7} + \frac{62}{25515} z^{9} + \frac{1382}{1715175} z^{11} + \frac{21844}{79053975} z^{13} + \frac{929569}{9577693125} z^{15} + O (z^{17}))$

图集

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参考文献

↑ Weisstein, Eric W. "Tanc Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. -{R|http://mathworld.wolfram.com/TancFunction.html}- Template:Wayback

[1] Weisstein, Eric W. "Tanc Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. -{R|http://mathworld.wolfram.com/TancFunction.html}- Template:Wayback

[1]

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