史咯米尔奇函数

Schlömilch function Maple animiation

史咯米尔奇函数（Schlömilch function）是德国数学家Template:Le在1859年首先研究的函数，定义如下：

$S(v,z)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(1+t{)}^{-v}{e}^{-zt}dt=z^{v-1}{e}^z\underset{z}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-u}/u^{v}du$

与其他特殊函数的关系

• $S(v,z)=\frac{\mathrm{\Gamma }(-1+v)*(-1+v)*(-v+z+v*z^{(}-1+v)*exp(z)*\mathrm{\Gamma }(-v-1,z)*z^2+v^2*z^{(}-1+v)*exp(z)*\mathrm{\Gamma }(-v-1,z)*z^2)}{\mathrm{\Gamma }(v)*z^2}$

• $S(v,z)=(\frac{\mathrm{\Gamma }(-1+s)*(-1+s)*(-s+v)}{v^2}+\frac{(-1+s)*v^{(}-1+s)*exp(v)*\pi }{sin(\pi *s)*(-s+1)}+\frac{(-1+s)*(1+s)*s*v^{(}-1+s)*exp(v)*WhittakerW(-1-(1/2)*s,-(1/2)*s-1/2,v)*\mathrm{\Gamma }(-1+s)}{v^{(}1+(1/2)*s)*exp((1/2)*v)}+Pi*v^{(}-1+s)*exp(v)*csc(Pi*s))$

级数展开

• $S(0.5,z)\approx \sqrt{(}Pi)/\sqrt{(}z)-2+\sqrt{(}\pi )*\sqrt{(}z)-(4/3)*z+(1/2)*z^{(}3/2)*\sqrt{(}\pi )-(8/15)*z^2+(1/6)*z^{(}5/2)*\sqrt{(}\pi )-(16/105)*z^3+(1/24)*z^{(}7/2)*\sqrt{(}\pi )+O(z^4)$

• $S(0.2,z)\approx \mathrm{\Gamma }(4/5)/z^{(}4/5)+z^{(}1/5)*\mathrm{\Gamma }(4/5)+(1/2)*z^{(}6/5)*\mathrm{\Gamma }(4/5)+(1/6)*z^{(}11/5)*\mathrm{\Gamma }(4/5)+(1/24)*z^{(}16/5)*\mathrm{\Gamma }(4/5)-5/4-(25/36)*z-(125/504)*z^2-(625/9576)*z^3+O(z^4)$

参考文献

• Whittaker and Watson, A Course of Modern Analysis, p352

外部链接

• Schlomilch function Template:Wayback