维格纳 3-j 符号

维格纳 3-j 符号也称3-j符号，与量子力学中的克莱布希－高登系数有密切关系。

(\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ m_{1} & m_{2} & m_{3} \end{matrix}) \equiv \frac{(- 1)^{j_{1} - j_{2} - m_{3}}}{\sqrt{2 j_{3} + 1}} ⟨ j_{1} m_{1} j_{2} m_{2} | j_{3} - m_{3} ⟩ .

反演关系

⟨ j_{1} m_{1} j_{2} m_{2} | j_{3} m_{3} ⟩ = (- 1)^{- j_{1} + j_{2} - m_{3}} \sqrt{2 j_{3} + 1} (\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ m_{1} & m_{2} & - m_{3} \end{matrix}) .

$(\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ m_{1} & m_{2} & m_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} j_{2} & j_{3} & j_{1} \\ m_{2} & m_{3} & m_{1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} j_{3} & j_{1} & j_{2} \\ m_{3} & m_{1} & m_{2} \end{matrix}) .$
位相: $(\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ m_{1} & m_{2} & m_{3} \end{matrix}) = (- 1)^{j_{1} + j_{2} + j_{3}} (\begin{matrix} j_{2} & j_{1} & j_{3} \\ m_{2} & m_{1} & m_{3} \end{matrix}) = (- 1)^{j_{1} + j_{2} + j_{3}} (\begin{matrix} j_{1} & j_{3} & j_{2} \\ m_{1} & m_{3} & m_{2} \end{matrix}) .$

(\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ - m_{1} & - m_{2} & - m_{3} \end{matrix}) = (- 1)^{j_{1} + j_{2} + j_{3}} (\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ m_{1} & m_{2} & m_{3} \end{matrix}) .

(\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ m_{1} & m_{2} & m_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} j_{1} & \frac{j_{2} + j_{3} - m_{1}}{2} & \frac{j_{2} + j_{3} + m_{1}}{2} \\ j_{3} - j_{2} & \frac{j_{2} - j_{3} - m_{1}}{2} - m_{3} & \frac{j_{2} - j_{3} + m_{1}}{2} + m_{3} \end{matrix}) .

(\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ m_{1} & m_{2} & m_{3} \end{matrix}) = (- 1)^{j_{1} + j_{2} + j_{3}} (\begin{matrix} \frac{j_{2} + j_{3} + m_{1}}{2} & \frac{j_{1} + j_{3} + m_{2}}{2} & \frac{j_{1} + j_{2} + m_{3}}{2} \\ j_{1} - \frac{j_{2} + j_{3} - m_{1}}{2} & j_{2} - \frac{j_{1} + j_{3} - m_{2}}{2} & j_{3} - \frac{j_{1} + j_{2} - m_{3}}{2} \end{matrix}) .

里奇对称性包括72类对称性 symmetries.^[1] ^[2]

R = \begin{matrix} - j_{1} + j_{2} + j_{3} & j_{1} - j_{2} + j_{3} & j_{1} + j_{2} - j_{3} \\ j_{1} - m_{1} & j_{2} - m_{2} & j_{3} - m_{3} \\ j_{1} + m_{1} & j_{2} + m_{2} & j_{3} + m_{3} \end{matrix}