支撑函数

在数学领域内，${ℝ}^n$的一个非空的闭凸子集$A$的支撑函数$h_A$，描述了从$A$的支撑超平面（supporting hyperplane）到原点的距离。$h_A$是${ℝ}^n$上的一个凸函数。任意一个非空的闭凸子集都可以由它的支撑函数唯一确定。进一步地，$h_A$作为集合$A$上的函数，与这个集合上许多几何变换是相容的，比如伸缩变换、平移变换、旋转变换以及闵可夫斯基和。因为具有这些性质，支撑函数是凸分析或凸几何中最基础与重要的概念。

定义

${ℝ}^n$的非空闭凸子集$A$的支撑函数是：

$h_A:{ℝ}^n\to ℝ:x\mapsto \sup \{x\cdot a:a\in A\}$，其中$x\in {ℝ}^n$

下面的性质并不要求集合A是闭且凸的：在$h_A(x)$有界时，集合$\{u\in {ℝ}^n:u\cdot x\le h_A(x)\}$表示最小的包含A的闭的半空间（half-space）；进一步地，集合${\mathscr{H}}_x=\{u\in {ℝ}^n:u\cdot x=h_A(x)\}$就是A的支撑超平面（supporting hyperplane）。

原点到A的支撑超平面的距离$d_{{\mathscr{H}}_x}(0)$满足这样的关系：$d_{{\mathscr{H}}_x}(0)=\frac{h_A(x)}{|x|}$。取x 的模为1 就利用A的支撑函数描述了A的支撑超平面到原点的距离。

例子

• 单点集的支撑函数：$A=\{a\}$，$h_A(x)=x\cdot a$
• 单位球的支撑函数：$B_1=\{x\in {ℝ}^n:|x|\le 1\}$，$h_{B_1}(x)=|x|$
• 取A为从a到-a的线段，则有：$h_A=|x\cdot a|$