马丢函数

马丟函数（Template:Lang-fr）是1868年法國數學家 Template:Tsl因研究数学物理所推得的特殊函數，下列马丟方程的解析解：

\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + [a - 2 q \cos (2 x)] y = 0 .

马丟方程有两个线性无关的解：

奇数解

MathieuCE(n, q, x)，或记为 $w_{I} (n, q, x)$ ,

偶数解

MathieuSE(n, q, x).或记为 $w_{I I} (n, q, x)$ 称为基本解^[1]

周期性

马丟函数 MathieuC(a,q,z) 或 MathieuS(a,q,z) 只有一个是周期为 $π$ 或 $2 π$ 的周期解，另一个不是。

马丟函数 MathieuC(a,q,z) 和 MathieuS(a,q,z) 两者都有是周期为 $2 n π$ （n≥2)的周期函数。 ^[1]

正交性

$\int_{0}^{2 * π} c e_{m} (x, q) * c e_{n} (x, q) d x = 0$
$\int_{0}^{2 * π} c e_{m} (x, q) * s e_{n} (x, q) d x = 0$
$\int_{0}^{2 * π} s e_{m} (x, q) * s e_{n} (x, q) d x = 0$

特征方程

马丟方程的特征方程是^[1]

$c o s (π * v) = w_{I} (a, q, π)$

$c o s (π * v) = w_{I I} (b, q, π)$

对于给定的v，q, 上列特征方程给出无穷多个a、b解称为特征值。

特征值的展开

马丟函数体特征值可展开成级数：^[2]

$a_{0} (q) = - (1 / 2) * z^{2} + (7 / 128) * z^{4} - (29 / 2304) * z^{6} + (68687 / 18874368) * z^{8} + 𝒪 (z^{10})$ $a_{1} (q) = 1 + z - (1 / 8) * z^{2} - (1 / 64) * z^{3} - (1 / 1536) * z^{4} + (11 / 36864) * z^{5} + (49 / 589824) * z^{6} + (55 / 9437184) * z^{7} - (83 / 35389440) * z^{8} - (12121 / 15099494400) * z^{9} + 𝒪 (z^{10})$ $a_{2} (q) = 4 + (5 / 12) * z^{2} - (763 / 13824) * z^{4} + (1002401 / 79626240) * z^{6} - (1669068401 / 458647142400) * z^{8} + 𝒪 (z^{10})$ $a_{3} (q) = 9 + (1 / 16) * z^{2} + (1 / 64) * z^{3} + (13 / 20480) * z^{4} - (5 / 16384) * z^{5} - (1961 / 23592960) * z^{6} - (609 / 104857600) * z^{7} + (4957199 / 2113929216000) * z^{8} + (872713 / 1087163596800) * z^{9} + 𝒪 (z^{10})$

$b_{1} (q) = 1 - z - (1 / 8) * z^{2} + (1 / 64) * z^{3} - (1 / 1536) * z^{4} - (11 / 36864) * z^{5} + (49 / 589824) * z^{6} - (55 / 9437184) * z^{7} - (83 / 35389440) * z^{8} + (12121 / 15099494400) * z^{9} + 𝒪 (z^{10})$ $b_{2} (q) = 4 - (1 / 12) * z^{2} + (5 / 13824) * z^{4} - (289 / 79626240) * z^{6} + (21391 / 458647142400) * z^{8} + 𝒪 (z^{10})$ $b_{3} (q) = 9 + (1 / 16) * z^{2} - (1 / 64) * z^{3} + (13 / 20480) * z^{4} + (5 / 16384) * z^{5} - (1961 / 23592960) * z^{6} + (609 / 104857600) * z^{7} + (4957199 / 2113929216000) * z^{8} - (872713 / 1087163596800) * z^{9} + 𝒪 (z^{10})$ $b_{4} (q) = 16 + (1 / 30) * z^{2} - (317 / 864000) * z^{4} + (10049 / 2721600000) * z^{6} - (93824197 / 2006581248000000) * z^{8} + 𝒪 (z^{10})$ $b_{5} (q) = 25 + (1 / 48) * z^{2} + (11 / 774144) * z^{4} - (1 / 147456) * z^{5} + (37 / 891813888) * z^{6} + (7 / 339738624) * z^{7} + (63439 / 201364441399296) * z^{8} + (1 / 2130840649728) * z^{9} + 𝒪 (z^{10})$

级数展开

马丟函数ce,se的级数展开^[3]

$c e_{0} (z, q) = 1 - (1 / 2) * c o s (2 * z) * q + (- 1 / 16 + (1 / 32) * c o s (4 * z)) * q^{2} + ((11 / 128) * c o s (2 * z) - (1 / 1152) * c o s (6 * z)) * q^{3} + O (q^{4})$ $c e_{1} (z, q) = c o s (z) - (1 / 8) * c o s (3 * z) * q + (- (1 / 128) * c o s (z) - (1 / 64) * c o s (3 * z) + (1 / 192) * c o s (5 * z)) * q^{2} + (- (1 / 512) * c o s (z) + (1 / 3072) * c o s (3 * z) + (1 / 1152) * c o s (5 * z) - (1 / 9216) * c o s (7 * z)) * q^{3} + O (q^{4})$ $c e_{2} (z, q) = c o s (2 * z) + (1 / 4 - (1 / 12) * c o s (4 * z)) * q + (- (19 / 288) * c o s (2 * z) + (1 / 384) * c o s (6 * z)) * q^{2} + (- 49 / 1152 + (11 / 4608) * c o s (4 * z) - (1 / 23040) * c o s (8 * z)) * q^{3} + O (q^{4})$ $c e_{3} (z, q) = c o s (3 * z) + ((1 / 8) * c o s (z) - (1 / 16) * c o s (5 * z)) * q + (- (5 / 512) * c o s (3 * z) + (1 / 64) * c o s (z) + (1 / 640) * c o s (7 * z)) * q^{2} + (- (1 / 512) * c o s (3 * z) - (1 / 4096) * c o s (z) + (11 / 40960) * c o s (5 * z) - (1 / 46080) * c o s (9 * z)) * q^{3} + O (q^{4})$ $c e_{4} (z, q) = c o s (4 * z) + ((1 / 12) * c o s (2 * z) - (1 / 20) * c o s (6 * z)) * q + (- (17 / 3600) * c o s (4 * z) + 1 / 192 + (1 / 960) * c o s (8 * z)) * q^{2} + ((7 / 28800) * c o s (2 * z) + (29 / 288000) * c o s (6 * z) - (1 / 80640) * c o s (10 * z)) * q^{3} + O (q^{4})$

$s e_{1} (z, q) = s i n (z) - (1 / 8) * s i n (3 * z) * q + (- (1 / 128) * s i n (z) + (1 / 64) * s i n (3 * z) + (1 / 192) * s i n (5 * z)) * q^{2} + ((1 / 512) * s i n (z) + (1 / 3072) * s i n (3 * z) - (1 / 1152) * s i n (5 * z) - (1 / 9216) * s i n (7 * z)) * q^{3} + O (q^{4})$ $s e_{2} (z, q) = s i n (2 * z) - (1 / 12) * s i n (4 * z) * q + (- (1 / 288) * s i n (2 * z) + (1 / 384) * s i n (6 * z)) * q^{2} + ((1 / 1536) * s i n (4 * z) - (1 / 23040) * s i n (8 * z)) * q^{3} + O (q^{4})$ $s e_{3} (z, q) = s i n (3 * z) + ((1 / 8) * s i n (z) - (1 / 16) * s i n (5 * z)) * q + (- (5 / 512) * s i n (3 * z) - (1 / 64) * s i n (z) + (1 / 640) * s i n (7 * z)) * q^{2} + ((1 / 512) * s i n (3 * z) - (1 / 4096) * s i n (z) + (11 / 40960) * s i n (5 * z) - (1 / 46080) * s i n (9 * z)) * q^{3} + O (q^{4})$ $s e_{4} (z, q) = s i n (4 * z) + ((1 / 12) * s i n (2 * z) - (1 / 20) * s i n (6 * z)) * q + (- (17 / 3600) * s i n (4 * z) + (1 / 960) * s i n (8 * z)) * q^{2} + (- (1 / 1600) * s i n (2 * z) + (29 / 288000) * s i n (6 * z) - (1 / 80640) * s i n (10 * z)) * q^{3} + O (q^{4})$ $s e_{5} (z, q) = s i n (5 * z) + ((1 / 16) * s i n (3 * z) - (1 / 24) * s i n (7 * z)) * q + (- (13 / 4608) * s i n (5 * z) + (1 / 384) * s i n (z) + (1 / 1344) * s i n (9 * z)) * q^{2} + (- (7 / 73728) * s i n (3 * z) + (13 / 258048) * s i n (7 * z) - (1 / 9216) * s i n (z) - (1 / 129024) * s i n (11 * z)) * q^{3} + O (q^{4})$

傅立叶展开式

马丟函数的傅立叶展开：^[3]

$M a t h i e u C E (2 n, q, x) = \sum_{m = 0}^{\infty} A_{2 m}^{2 n} (q) c o s (2 m x)$
$M a t h i e u C E (2 n + 1, q, x) = \sum_{m = 0}^{\infty} A_{2 m + 1}^{2 n + 1} (q) c o s [(2 m + 1) x]$
$M a t h i e u S E (2 n + 1, q, x) = \sum_{m = 0}^{\infty} B_{2 m + 1}^{2 n + 1} (q) s i n [(2 m + 1) x]$
$M a t h i e u S E (2 n + 2, q, x) = \sum_{m = 0}^{\infty} B_{2 m + 2}^{2 n + 2} (q) s i n [(2 m + 2) x]$

其中系数A,B满足下列递归关系：^[3]

$a A_{0} = q A_{2}$

$(a - 4) A_{2} = q (2 A_{0} + A_{4})$

$(a - 4 m^{2}) A_{2 m} = q (A_{2 m - 2} + A_{2 m + 2})$

$(a - 1 + q) B_{1} = q B_{3}$

$(a - (2 m + 1)^{2}) B_{2 m + 1} = q (B_{2 m - 1} + B_{2 m + 1})$

关系式

马丟方程的基本解 $W_{I} W_{I I}$ 满足下列关系：^[3]:

| \begin{matrix} w_{I} (n, q, 0) & w_{I I} (n, q, 0) \\ w_{i}^{'} (n, q, 0) & w_{I I}^{'} (n, q, 0) \end{matrix} |

=

| \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} |

郎斯基行列式： $W [w_{I}, w_{I I}] = 1$

$w_{I} (a, q, z + π) = w_{I} (a, q, π) * w_{I} (a, q, z) + w_{I}^{'} (a, q, π) * w_{I I} (a, q, z)$ $w_{I} (a, q, z - π) = w_{I} (a, q, π) * w_{I} (a, q, z) - w_{I}^{'} (a, q, π) * w_{I I} (a, q, z)$ $w_{I I} (a, q, z + π) = w_{I I} (a, q, π) * w_{I I} (a, q, z) + w_{I I}^{'} (a, q, π) * w_{I I} (a, q, z)$ $w_{I I} (a, q, z - π) = w_{I I} (a, q, π) * w_{I I} (a, q, z) - w_{I}^{'} (a, q, π) * w_{I I} (a, q, z)$

$w_{I} (- z) = w_{I} (z)$ $w_{I I} (- z) = - w_{I I} (z)$

特例

$C E (a, 0, z) = c o s (a z)$
$S E (a, 0, z) = s i n (a z)$
$M a t h i e u A (1, 0) = 1$
$M a t h i e u A (a, 0) = a^{2}$
$M a t h i e u B (a, 0) = a^{2}$
$M a t h i e u F l o q u e t (a, 0, z) = e x p (I * s q r t (a) * z)$

夫洛开解

马丟函数中，如果 $f (x)$ 是一个周期为 $ω$ 的解，并满足下列条件

$f (x + ω) = σ * f (x)$ ,其中 $σ$ 与x 无关，则此解称为夫洛开解。

级数展开

$M F (1, 1, z) = . 7992 - . 5734 * I + (- . 9134 + . 6553 * I) * z + (. 3996 - . 2867 * I) * z^{2} + (- . 1523 + . 1092 * I) * z^{3} + (- . 2331 + . 1673 * I) * z^{4} + O (z^{5})$ $M F (1, 2, z) = . 7643 - . 4526 * I + (- 1.167 + . 6910 * I) * z + (1.146 - . 6789 * I) * z^{2} + (- . 5835 + . 3455 * I) * z^{3} + (- . 2229 + . 1320 * I) * z^{4} + O (z^{5})$ $M F (1, 3, z) = . 6841 - . 3703 * I + (- 1.318 + . 7135 * I) * z + (1.710 - . 9258 * I) * z^{2} + (- 1.098 + . 5946 * I) * z^{3} + (0.2851 e - 1 - 0.1543 e - 1 * I) * z^{4} + O (z^{5})$

参考文献

↑ ^1.0 ^1.1 ^1.2 王竹溪郭敦仁 603 引用错误：<ref>标签无效；同一name（名称）“W”以不同内容定义了多次
↑ Frank p659
↑ ^3.0 ^3.1 ^3.2 ^3.3 Frank p660 引用错误：<ref>标签无效；同一name（名称）“F”以不同内容定义了多次

王竹溪郭敦仁《特殊函数概论》第十二章马丟函数北京大学出版社 2000
Frank J Oliver NIST Handbook of Mathematical Functions,Cambridge University PRESS, 2010

[W-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 王竹溪郭敦仁 603 引用错误：<ref>标签无效；同一name（名称）“W”以不同内容定义了多次

[FRa-2] Frank p659

[F-3] 3.0 ^3.1 ^3.2 ^3.3 Frank p660 引用错误：<ref>标签无效；同一name（名称）“F”以不同内容定义了多次

[1]

[2]

[3]

马丢函数

目录

周期性

正交性

特征方程

特征值的展开

级数展开

傅立叶展开式

关系式

特例

夫洛开解

参考文献

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