图沙德多项式

Touchard Polynomials

图沙德多项式是1939年法兰西数学家Template:Link-en提出的多项式。定义如下：

Touchard Polynomials

$T_n(x)=\sum _{k=0}^{n}S(n,k)x^k=\sum _{k=0}^n\left\{\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right\}{x}^k,$

其中$S(n,k)$是第二类斯特林数。

前面几个图沙德多项式是：

• $T_0(x)=1$
• $T_1(x)=x$
• $T_2(x)=x+x^2$
• $T_3(x)=x+3x^2+x^3$
• $T_4(x)=x+7x^2+6x^3+x^4$
• $T_5(x)=x+15x^2+25x^3+10x^4+x^5$

生成函数

图沙德多项式的生成函数为

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{T_n(x)}{n!}{t}^n=e^{x(e^t-1)}.$